专题12 数列综合问题
【高考真题】
1.(2022·全国乙理)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行
的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列:,,,…,依此类推,其中.则( )
A. B. C. D.
2.(2022·北京) 己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个
结论:①的第2项小于3;②为等比数列;③为递减数列;④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
3.(2022·浙江) 已知数列满足,则( )
A. B. C. D.
【题型突破】
题型一 数列求和
1.若数列的前n项和为,则n的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列{}的前10项和为( )
A. B. C. D.
3.在数列{an}中,an=++…+,又bn=,则数列{bn}的前n项和为________.
4.已知数列{an}满足:an+1=an(1-2an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=an·an+1,则数列{bn}的前2 017项
的和S2 017=________.
5.在等差数列{an}中,a3+a5+a7=6,a11=8,则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
6.设数列{(n2+n)an}是等比数列,且a1=,a2=,则数列{3nan}的前15项和为________.
7.已知数列{an}满足:an+1=an(1-2an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=an·an+1,则数列{bn}的前2 017项
的和S2 022=________.
8.已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),数列的前n项和为Sn,则
S1·S2·S3·…·S10=( )
A. B. C. D.
9.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,…,
S2 020中,有理数项的项数为( )
A.42 B.43 C.44 D.45
10.已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,若bn=,那么数列{bn}的前
n项和Sn为( )
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 019
=( )
A.-1 B.-1 C.-1 D.+1
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4n,若首项为的数列{bn}满足-=an,则数列{bn}
的前10项和为( )
A. B. C. D.
13.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
14.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a12=( )
A.18 B.15 C.-18 D.-15
15.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2 020=( )
A.22 020-1 B.3×21 010-3 C.3×21 010-1 D.3×22 020-2
16.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
17.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=________.
18.已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243,且2a3为3a2和a4的等差中项.若数列{bn}满足bn
=log3an+2(n∈N*),则数列{an+bn}的前n项和Sn=________.
19.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优
数”,则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )
A.1 024 B.2 012 C.2 026 D.2 036
20.1++1+++…+的值为( )
A.18+ B.20+ C.22+ D.18+
题型二 数列的奇偶项讨论
21.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )
A.990 B.1 000 C.1 100 D.99
22.已知数列{an}满足an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项和为( )
A.250 B.200 C.150 D.100
23.(2012·全国)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( )
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
24.若数列{an}的通项公式an=(-1)n,则它的前n项和Sn=________.
25.(2020·全国Ⅰ)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=________.
26.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且=2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则S100等于( )
A.+50 B.+50 C.+50 D.+50
27.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则S60=________.
28.已知数列{an}的通项公式为an=2n,设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+…+(-1)nbn,则Tn=_____.
29.已知数列{an}的通项公式an=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,则其前n项和Sn为________.
30.已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*,记T2n为数列{an}
的前2n项和,数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列,则使不等式·<1成立的最小整数n的值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
题型三 数列不等式恒成立
31.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,对于任意的n∈N*,an,Sn,a成等差数列,设数列{bn}
的前n项和为Tn,且bn=,若对任意的实数x∈(1,e](e为自然对数的底数)和任意正整数n,总有Tn
32.数列{an}满足a1=,an=(n∈N*),若对n∈N*,都有k>++…+成立,则最小的整数k
是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
33.已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,2Sn=a+an,bn=,若k>Tn
恒成立,则k的最小值为( )
A. B. C.1 D.
34.记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式a+≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实
数m的最大值为( )
A. B. C. D.1
35.已知数列{an}的通项公式为an=·3n-1,n∈N*,[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]=1).记bn=[an],
数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式λan+1>Tn+5n-对任意的n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是________.
36.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,bn=log2(a·),数列{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn>1 024
的最小n的值为 .
37.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1,a4,a5-2成等差数列,bn=,数列
{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn>的最小正整数n的值为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
38.已知数列{an}满足0项和为Sn,则满足Sn>10的n的最小值为( )
A.60 B.61 C.121 D.122
39.已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2n,且使得Sn-nan+1+50<0的最小正整数n的值为________.
40.已知等差数列{an}满足a3=-1,a4+a12=-12,则数列{an}的通项公式an=________;若数列的
前n项和为Sn,则使Sn>的最大正整数n为________.专题12 数列综合问题
【高考真题】
1.(2022·全国乙理)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行
的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列:,,,…,依此类推,其中.则( )
A. B. C. D.
1.答案 D 解析 因为,所以,,得到,同理
,可得,,又因为,故,;以此类推,可得,,故A错误;,故B错误;,得,故C错误;,得,故D正确.故选D.
2.(2022·北京) 己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个
结论:①的第2项小于3;②为等比数列;③为递减数列;④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
2.答案 ①③④ 解析 由题意可知,,,当时,,可得;当时,
由可得,两式作差可得,所以,,则,整理可得,因为,解得,①对;假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,所以,,可得,解得,不合乎题意,故数列不是等比数列,②错;当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;假设对任意的,,则,所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.故答案为①③④.
3.(2022·浙江) 已知数列满足,则( )
A. B. C. D.
3.答案 B 解析 ∵,易得,依次类推可得,由题意,,
即,∴,即,,,…,,累加可得,即,∴,即,,又,∴,,,…,,累加可得,∴,即,∴,即;综上:.故选B.
【题型突破】
题型一 数列求和
1.若数列的前n项和为,则n的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
1.答案 B 解析 ∵==-,∴Sn=++…+=1-=
,由=可知n=10.故选B.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列{}的前10项和为( )
A. B. C. D.
2.答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为d,由a9=a12+6及等差数列的通项公式得a1+5d=12,
又a2=4,∴a1=2,d=2,∴Sn=n2+n,∴==-,∴++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.选B.
3.在数列{an}中,an=++…+,又bn=,则数列{bn}的前n项和为________.
3.答案 解析 因为an==,所以bn==8.所以b1+b2+…+bn=
8=.
4.已知数列{an}满足:an+1=an(1-2an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=an·an+1,则数列{bn}的前2 017项
的和S2 017=________.
4.答案 解析 由an+1=an(1-2an+1),可得-=2,所以数列是首项为1,公差为2的
等差数列,故=1+(n-1)×2=2n-1,所以an=.又bn=an·an+1==,所以S2 017==×=.
5.在等差数列{an}中,a3+a5+a7=6,a11=8,则数列的前n项和为( )
A. B. C. D.
5.答案 C 解析 因为a3+a5+a7=6,所以3a5=6,a5=2,又a11=8,所以等差数列{an}的公差d=
=1,所以an=a5+(n-5)d=n-3,所以==-,因此数列的前n项和为1-+-+…+-=1-=,故选C.
6.设数列{(n2+n)an}是等比数列,且a1=,a2=,则数列{3nan}的前15项和为________.
6.答案 解析 等比数列{(n2+n)an}的首项为2a1=,第二项为6a2=,故公比为,所以(n2+n)an
=·=,所以an=,则3nan==-,其前n项和为1-,n=15时,为1-=.
7.已知数列{an}满足:an+1=an(1-2an+1),a1=1,数列{bn}满足:bn=an·an+1,则数列{bn}的前2 017项
的和S2 022=________.
7.答案 解析 由an+1=an(1-2an+1),可得-=2,所以数列是首项为1,公差为2的等
差数列,故=1+(n-1)×2=2n-1,所以an=.又bn=an·an+1==,所以S2 022==×=.
8.已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),数列的前n项和为Sn,则
S1·S2·S3·…·S10=( )
A. B. C. D.
8.答案 C 解析 ∵2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),∴2a1+22a2+…+2n-1an-1=n-1(n≥2),两式相
减得2nan=1(n≥2),a1=也满足上式,故an=,故==-,Sn=++…+=1-=,∴S1·S2·S3·…·S10=×××…××=,故选C.
9.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),其前n项和为Sn,则在数列S1,S2,…,
S2 020中,有理数项的项数为( )
A.42 B.43 C.44 D.45
9.答案 B 解析 an====-,所以
Sn=i=1-.442<2 021<452,所以[]min=2,[]max=44,即S1,S2,…,S2 021共有43个有理项.故选B.
10.已知数列{an}:,+,++,…,+++…+,…,若bn=,那么数列{bn}的前
n项和Sn为( )
A. B. C. D.
10.答案 B 解析 ∵an==,∴bn===4,∴Sn=
4=4=.
11.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 019
=( )
A.-1 B.-1 C.-1 D.+1
11.答案 C 解析 由f(4)=2可得4α=2,解得α=,则f(x)=x.∴an===
-,S2 019=a1+a2+a3+…+a2 019=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4n,若首项为的数列{bn}满足-=an,则数列{bn}
的前10项和为( )
A. B. C. D.
12.答案 A 解析 由Sn=n2+4n,可得an=2n+3,根据-=an=2n+3,结合题设条件,应用累
加法可求得=n2+2n,所以bn===,所以数列{bn}的前n项和为Tn==,所以T10==,故选A.
13.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
13.答案 C 解析 Sn=a1+a2+a3+…+an=(21+2×1-1)+(22+2×2-1)+(23+2×3-1)+…+(2n+
2n-1)=(2+22+…+2n)+2(1+2+3+…+n)-n=+2×-n=2(2n-1)+n2+n-n=2n+1+n2-2.
14.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a12=( )
A.18 B.15 C.-18 D.-15
14.答案 A 解析 记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+
a11+a12=(-b1)+b2+…+(-b11)+b12=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b12-b11)=6×3=18.
15.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2 020=( )
A.22 020-1 B.3×21 010-3 C.3×21 010-1 D.3×22 020-2
15.答案 B 解析 依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,
a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2 020=(a1+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)=+=3×21 010-3,故选B.
16.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0 B.100 C.-100 D.10 200
16.答案 B 解析 由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002
-1002+1012=(12-22)+(32-22)+(32-42)+…+(992-1002)+(1012-1002)=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B.
17.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100=________.
17.答案 -100 解析 a1+a2+…+a100=[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+…+[f(99)+f(100)]+[f(100)+f(101)]
=2[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)]-f(1)+f(101)=2(-11+22-32+42+…-992+1002)+1-1012
=2[(22-1)+(42-32)+…+(1002-992)]+1-1012=2(3+7+11+…+199)+1-1012
=2××50+1-1012=-100.
18.已知公比不为1的等比数列{an}的前5项积为243,且2a3为3a2和a4的等差中项.若数列{bn}满足bn
=log3an+2(n∈N*),则数列{an+bn}的前n项和Sn=________.
18.答案 + 解析 由前5项积为243得a3=3.设等比数列{an}的公比为q(q≠1),由2a3
为3a2和a4的等差中项,得3×+3q=4×3,由公比不为1,解得q=3,所以an=3n-2,故bn=log3an+2=n,所以an+bn=3n-2+n,数列{an+bn}的前n项和Sn=3-1+30+31+32+…+3n-2+1+2+3+…+n=+=+.
19.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的n叫做“优
数”,则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )
A.1 024 B.2 012 C.2 026 D.2 036
19.答案 C 解析 a1·a2·a3·…·an=log23·log34·log45·…·log(n+1)(n+2)=log2(n+2)=k,k∈Z,令0-2≤2 018,则2<2k≤2 020,120.1++1+++…+的值为( )
A.18+ B.20+ C.22+ D.18+
20.答案 B 解析 设an=1+++…+==2.则原式=a1+a2+…+a11=
2+2+…+2=2=2=2=2=20+.
题型二 数列的奇偶项讨论
21.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )
A.990 B.1 000 C.1 100 D.99
21.答案 A 解析 n为奇数时,an+2-an=0,an=2;n为偶数时,an+2-an=2,an=n.故S60=2×30
+(2+4+…+60)=990.
22.已知数列{an}满足an+1+(-1)n+1an=2,则其前100项和为( )
A.250 B.200 C.150 D.100
22.答案 D 解析 当n=2k(k∈N*)时,a2k+1-a2k=2,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+a2k-1=2,当n=2k
+1(k∈N*)时,a2k+2+a2k+1=2,∴a2k+1+a2k-1=4,a2k+2+a2k=0,∴{an}的前100项和=(a1+a3)+…+(a97+a99)+(a2+a4)+…+(a98+a100)=25×4+25×0=100.
23.(2012·全国)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( )
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
23.答案 D 解析 不妨令a1=1,根据题意,得a2=2,a3=a5=a7=…=1,a4=6,a6=10,…,所以
当n为奇数时,an=1,当n为偶数时构成以a2=2为首项,以4为公差的等差数列.所以{an}的前60项和为S60=30+2×30+×4=1 830.
24.若数列{an}的通项公式an=(-1)n,则它的前n项和Sn=________.
24.答案 -1+或 解析 an=(-1)n=(-1)n,Sn=-
+-+…+(-1)n,当n为偶数时,Sn=-1+,当n为奇数时,Sn=-1-,综上所述Sn=-1+.
25.(2020·全国Ⅰ)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=________.
25.答案 7 解析 因为数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,所以当n=2k(k∈N*)时,a2k+2+a2k=6k-
1(k∈N*),所以(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92.当n=2k-1(k∈N*)时,a2k+1-a2k-1=6k-4(k∈N*),所以当k≥2时,a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k-1-a2k-3)=a1+2+8+14+…+[6(k-1)-4]=a1+=a1+(3k-4)(k-1),当k=1时上式也成立,所以a2k-1=a1+(3k-4)(k-1)(k∈N*),即a2k-1=a1+3k2-7k+4(k∈N*).
法一:所以a1+a3+a5+a7+…+a15=8a1+3×(12+22+32+…+82)-7×(1+2+3+…+8)+4×8=8a1+3×-7×+32=8a1+612-252+32=8a1+392.又前16项和为540,所以92+8a1+392=540,解得a1=7.
法二:所以a2k-1=a1+(3k2+3k+1)-10k+3=a1+[(k+1)3-k3]-10k+3,所以a1+a3+a5+a7+…+a15=8a1+(23-13)+(33-23)+…+(93-83)-10×+3×8=8a1+93-13-360+24=8a1+392.又前16项和为540,所以92+8a1+392=540,解得a1=7.
26.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且=2+(-1)n(n∈N*),Sn为数列{an}的前n项和,则S100等于( )
A.+50 B.+50 C.+50 D.+50
26.答案 C 解析 由题意=2+(-1)n(n∈N*),当n为偶数时,可得=3;当n为奇数时,可得
=1,即数列的偶数项成公比为3的等比数列,奇数项都为1,由求和公式可得S100=+50=+50.
27.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则S60=________.
27.答案 930 解析 法一 因为a2k-a2k-1=2k-1,a2k+1+a2k=2k(k∈N*),两式相减,则a2k+1+a2k-1
=1,即{an}的相邻两个奇数项之和恒为1;又a2k+1+a2k=2k,a2k+2-a2k+1=2k+1(k∈N*),两式相加,则a2k+2+a2k=4k+1,所以S60=(a1+a3+…+a59)+[(a2+a4)+…+(a58+a60)]=15+[(4×1+1)+(4×3+1)+…+(4×29+1)]=930.
法二 一般递推关系中出现(-1)n,应分奇偶项进行讨论,以简化递推关系.同时,对于首项未定的数列求和,可以考虑从特殊到一般归纳其规律:设a1=x,则由递推关系,得a2=1+x,a3=1-x,a4=4-x,a5=x,a6=5+x,a7=1-x,a8=8-x,…,则有a1+a2+a3+a4=6,a5+a6+a7+a8=14,可猜想a4m+1+a4m+2+a4m+3+a4m+4=8m+6(m∈N),故S60=6×15+×8=930.
28.已知数列{an}的通项公式为an=2n,设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+…+(-1)nbn,则Tn=_____.
28.答案 解析 由an=2n,得bn==n(n+1),①当n为偶数
时,Tn=-(1×2)+(2×3)-(3×4)+…+n(n+1)=2(-1+3)+4(-3+5)+…+n[-(n-1)+(n+1)]=2×2+4×2+6×2+…+n×2=2×(2+4+6+…+n)=2×=;②当n为奇数时,Tn=-(1×2)+(2×3)-(3×4)+…-n(n+1)=2(-1+3)+4(-3+5)+…+(n-1)[-(n-2)+n]-n(n+1)=2×2+4×2+6×2+…+(n-1)×2-n(n+1)=2[2+4+6+…+(n-1)]-n(n+1)=2×-n(n+1)=-.综上:Tn=
29.已知数列{an}的通项公式an=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,则其前n项和Sn为________.
29.答案 解析 Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-
1)n](ln2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3,所以当n为偶数时,Sn=2×+ln 3=3n+ln 3-1,当n为奇数时,Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3=3n-ln 3-ln 2-1,综上所述,Sn=
30.已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*,记T2n为数列{an}
的前2n项和,数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列,则使不等式·<1成立的最小整数n的值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
30.答案 C 解析 因为[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*,所以当 n为奇数时,an+2-an
=2,且a1=1,所以数列{an}的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列;当n为偶数时,=,且a2=,所以数列{an}的偶数项构成首项为,公比为的等比数列,则T2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)=n2+1-.又因为数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列,所以bn=2n,则·<1等价于(n2+1)<1,即n2+1<2n,当n=1时,n2+1=2n;当n=2,3,4时,n2+1>2n;当n=5时,n2+1<2n;当n>5时,n2+1<2n.综上所述,使不等式·<1成立的最小整数n的值为5,故选C.
题型三 数列不等式恒成立
31.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,对于任意的n∈N*,an,Sn,a成等差数列,设数列{bn}
的前n项和为Tn,且bn=,若对任意的实数x∈(1,e](e为自然对数的底数)和任意正整数n,总有Tn31.答案 2 解析 由题意得,2Sn=an+a,当n≥2时,2Sn-1=an-1+a,∴2Sn-2Sn-1=an+a-an
-1-a,∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵an>0,∴an-an-1=1,即数列{an}是等差数列,又2a1=2S1=a1+a,a1=1,∴an=n(n∈N*).又x∈(1,e],∴032.数列{an}满足a1=,an=(n∈N*),若对n∈N*,都有k>++…+成立,则最小的整数k
是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
32.答案 C 解析 由an=,得an=an+1-1,∴==-,即=
-,且an>1.∴++…+=++…+=-,∴++…+=5-<5.又对n∈N*,都有k>++…+成立,∴k≥5.故最小的整数k是5.
33.已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且an>0,2Sn=a+an,bn=,若k>Tn
恒成立,则k的最小值为( )
A. B. C.1 D.
33.答案 C 解析 ∵2Sn=a+an,①,且an>0,∴当n=1时,2S1=a+a1,解得a1=1或a1=0(舍去).当
n≥2时,2Sn-1=a+an-1,②,①-②得2an=a+an-(a+an-1),a-a-an-an-1=0,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵an>0,∴an-an-1=1,∴{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴an=n,∴bn===-,∴Tn=-+-+…+-=-=1-<1,∵k>Tn恒成立,∴k≥1,即k的最小值为1.
34.记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式a+≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实
数m的最大值为( )
A. B. C. D.1
34.答案 A 解析 a+=a+2=a+2,令(n-1)d=t,则a+=
(a1+2t)2+(a1+t)2=2a+6ta1+5t2=52+a,当t=时,取到最小值.即(n-1)d=,即n=+1,∵不等式a+≥ma对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,∴m≤,∴实数m的最大值为.故选A.
35.已知数列{an}的通项公式为an=·3n-1,n∈N*,[an]表示不超过an的最大整数(如[1.2]=1).记bn=[an],
数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式λan+1>Tn+5n-对任意的n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是________.
35.答案 解析 因为an=·3n-1,所以当n=1时,a1=,b1=0.当n≥2时,3n-1为大于
2的奇数,3n-1-1为偶数,所以bn=,显然b1=0也满足上式,所以bn=,n∈N*,所以Tn=(30+31+32+…+3n-1)-=-=.所以不等式λan+1>Tn+5n-,即λ·>+5n-可化为λ>+.令f(n)=+,n∈N*,则f(n+1)=+,所以f(n+1)-f(n)=-=,所以当n≤4时,f(n+1)-f(n)>0,f(n)递增,当n≥5时,f(n+1)-f(n)<0,f(n)递减,即f(1)f(6)>f(7)>…,所以f(n)max=f(5)=,故λ>,即实数λ的取值范围是.
36.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,bn=log2(a·),数列{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn>1 024
的最小n的值为 .
36.答案 9 解析 由数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-2n+2
=2n,a1=S1=2,满足上式,所以bn=log2(a·)=log2a+log2=2n+2n,所以数列{bn}的前n和为Tn=+=n(n+1)+2n+1-2,当n=9时,T9=9×10+210-2=1 112>1 024,当n=8时,T8=8×9+29-2=582<1 024,所以满足Tn>1 024的最小n的值为9.
37.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1,a4,a5-2成等差数列,bn=,数列
{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn>的最小正整数n的值为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
37.答案 B 解析 根据Sn=2n+1+m可以求得an=所以有a1=m+4,a4=16,a5=32,
根据a1,a4,a5-2成等差数列,可得m+4+32-2=32,从而求得m=-2,所以a1=2满足an=2n,从而求得an=2n(n∈N*),所以bn===-,所以Tn=1-+-+-+…+-=1-,令1->,整理得2n+1>2 019,解得n≥10.
38.已知数列{an}满足0项和为Sn,则满足Sn>10的n的最小值为( )
A.60 B.61 C.121 D.122
38.答案 B 解析 由a-8a+4=0,得a+=8,所以a+=8+8(n-1)=8n,所以2=a+
+4=8n+4,所以an+=2,即a-2an+2=0,所以an==±,因为010得>11,所以n>60.
39.已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2n,且使得Sn-nan+1+50<0的最小正整数n的值为________.
39.答案 5 解析 Sn=1×21+2×22+…+n×2n,则2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,两式相减得-
Sn=2+22+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,故Sn=2+(n-1)·2n+1.又an=2n,∴Sn-nan+1+50=2+(n-1)·2n+1-n·2n+1+50=52-2n+1,依题意52-2n+1<0,故最小正整数n的值为5.
40.已知等差数列{an}满足a3=-1,a4+a12=-12,则数列{an}的通项公式an=________;若数列的
前n项和为Sn,则使Sn>的最大正整数n为________.
40.答案 2-n 5 解析 设等差数列{an}的公差为d,由已知可得解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.Sn=a1++…+,①,=++…+.②,①-②得=a1++…+-=1--=1--=,所以Sn=,由Sn=>,得0