专题13 立体几何中的位置关系及截面问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 在正方体中，E，F分别为的中点，则( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【知识总结】
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α．
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b．
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β．
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b．
平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α．
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b．
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β．
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β．
垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a α l⊥a．
3．确定截面的主要依据
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．
【题型突破】
题型一 简单位置关系的判断
1．(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两
相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
3．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：
①若b α，a α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；
②若a α，b α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．
判断正确的是( )
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
4．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是( )
①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
6．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则上述命题中所有真命题的序号是________．(填写所有正确命题的序号)
7．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”
中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________．
9．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则( )
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可
换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)
题型二 较难位置关系的判断(1)
11．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
12．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是( )
A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
13．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
14．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F
上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
15．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线
OM与AC，MN的位置关系是( )
A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直
16．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC
上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．
其中正确结论的序号是________．
17．如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与
AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：
①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
18．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段
PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．① D．②③
19．(多选)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1
＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是( )
A．该四棱台的高为 B．AA1⊥CC1
C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台外接球的表面积为16π
20．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
题型三 较难位置关系的判断(2)
21．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交成60°角 D．异面且成60°角
22．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③
CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
23．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，
在这个正四面体中：
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
24．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几
何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把
这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
26．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面
ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是( )
A．BD⊥AC B．△BAC是等边三角形
C．三棱锥D－ABC是正三棱锥 D．平面ADC⊥平面ABC
27．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，
将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
28．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且
AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是( )
A．AC∥平面BEF B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直
29．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又
P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．
其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)
30．(多选)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是( )
A．三棱锥A－D1PC的体积不变 B．A1P∥平面ACD1 C．DP⊥BC1 D．平面PDB1⊥平面ACD1
题型四 截面问题
31．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，则作过E，F，G三点的截
面图形为( )
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
32．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )
A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形
33．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为( )
A． B． C． D．
34．如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，
OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
35．(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩
平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
36．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平
面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A． B． C． D．
37．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，
SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
38．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
39．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下
四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是( )
A．① B．② C．③ D．④
40．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1，P的
平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．专题13 立体几何中的位置关系及截面问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 在正方体中，E，F分别为的中点，则( )
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
1．答案 A 解析 在正方体中，且平面，又平面，
所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，
设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选A．
【知识总结】
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α．
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b．
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β．
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b．
平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α．
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b．
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β．
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β．
垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a α l⊥a．
3．确定截面的主要依据
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．
【题型突破】
题型一 简单位置关系的判断
1．(2020·浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两
相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．答案 B 解析 依题意m，n，l是空间中不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能有
m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交．当m，n，l两两相交时，设m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，则m，n确定一个平面α，而B∈m α，C∈n α，所以直线BC即l α，所以m，n，l在同一平面．综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．故选B．
2．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
2．答案 B 解析 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，
则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此，B中条件是α∥β的充要条件．故选B．
3．已知α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，对于下列两个命题：
①若b α，a α，则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件；
②若a α，b α，则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件．
判断正确的是( )
A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题
3．答案 B 解析 若b α，a α，a∥b，则由线面平行的判定定理可得a∥α，反过来，若b α，a α，
a∥α，则a，b可能平行或异面，则b α，a α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，①是真命题；若a α，b α，α∥β，则由面面平行的性质可得a∥β，b∥β，反过来，若a α，b α，a∥β，b∥β，则α，β可能平行或相交，则a α，b α，则“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要条件，②是假命题，选项B正确．
4．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是( )
①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④
4．答案 D 解析 对于①，当m∥α，n∥β，且m∥n时，有α∥β或α，β相交，所以①错误；对于②，
当m∥α，n∥β，且m⊥n时，有α⊥β或α∥β或α，β相交且不垂直，所以②错误；对于③，当m⊥α，n⊥β，且m∥n时，得出m⊥β，所以α∥β，③正确；对于④，当m⊥α，n⊥β，且m⊥n时，α⊥β成立，所以④正确．综上知，正确的命题序号是③④．故选D．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．答案 B 解析 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不
正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．
6．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则上述命题中所有真命题的序号是________．(填写所有正确命题的序号)
6．答案 ①④ 解析 ①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点
不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知①为真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．从而①④为真命题．
7．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
7．答案 若m∥α且l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α) 解析 已知l，m是平面α外的两条不同
直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m．故正确的命题是②③ ①或①③ ②．
8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”
中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________．
8．答案 ①或③ 解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，
且没有公共点，所以平行，③正确．
9．(多选)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则( )
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
9．答案 BC 解析 由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：对于A，若m∥α，
n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故正确；对于C，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故正确；对于D，若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β或m β，故错误．故选BC．
10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可
换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)
10．答案 ①③ 解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真
命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
题型二 较难位置关系的判断(1)
11．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M
是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
11．答案 B 解析 如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，
又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD．设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2．过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN．连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．
12．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是( )
A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
12．答案 AD 解析 如图，由A1B∥D1C，且A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，故直线A1B与平面
ACD1平行，故A正确；直线BB1∥DD1，DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1相交，故B错误；显然平面A1DC1与平面ACD1相交，故C错误；由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1与平面ACD1平行，故D正确．故选AD．
13．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
13．答案 A 解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．∵QD∩平面MNQ
＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．故选A．
14．已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F
上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
14．答案 D 解析 如图所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接
MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D．
15．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线
OM与AC，MN的位置关系是( )
A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直
15．答案 A 解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC
⊥平面BDD1B1，因为OM 平面BDD1B1，所以OM⊥AC．设正方体的棱长为2，则OM＝＝，MN＝＝，ON＝＝，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN．故选A．
16．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC
上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．
其中正确结论的序号是________．
16．答案 ①②③ 解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC
平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF．∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．故①②③正确．
17．如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与
AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：
①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．
其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
17．答案 ①③ 解析 如图，连接OC，∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AC，C在以AO为直径的圆上，∴AC
⊥OC，∵OC∩SO＝O，∴AC⊥平面SOC，AC⊥SC，即△SAC为直角三角形，故①正确；假设平面SAD⊥平面SBD，在平面SAD中过点A作AH⊥SD交SD于点H，则AH⊥平面SBD，∴AH⊥BD，又BD⊥AD，∴BD⊥平面SAD，又CO∥BD，∴CO⊥平面SAD，∴CO⊥SC，又在△SOC中，SO⊥OC，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②错误；连接DO并延长交圆O于点E，连接PO，SE，∵P为SD的中点，O为ED的中点，∴OP是△SDE的中位线，∴PO∥SE，即SE∥平面PAB，即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行．故③正确．故正确是①③．
18．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段
PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．① D．②③
18．答案 B 解析 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩PA
＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA 平面PAC，OM 平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
19．(多选)已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中AB＝2，A1B1＝，AA1＝BB1
＝CC1＝2，则下列叙述中正确的是( )
A．该四棱台的高为 B．AA1⊥CC1
C．该四棱台的表面积为26 D．该四棱台外接球的表面积为16π
19．答案 AD 解析 由棱台的性质，画出切割前的四棱锥，如图所示．由于AB＝2，A1B1＝，可
知△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2，则SA＝2AA1＝4，AO＝2，则SO＝2，则OO1＝，故该四棱台的高为，A正确；因为SA＝SC＝AC＝4，则AA1与CC1的夹角为60°，不垂直，B错误；该四棱台的表面积为S＝S上底＋S下底＋S侧＝2＋8＋4××＝10＋6，C错误；由于上、下底面都是正方形，则四棱台外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝，B1O1＝1，则OB1＝2＝OB，即点O到点B与点B1的距离相等，则四棱台外接球的半径r＝OB＝2，故该四棱台外接球的表面积为16π，D正确．故选AD．
20．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
20．答案 BD 解析 在A中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合题
意；在B中，AB⊥CE，AB⊥DE，CE∩DE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合题意；在C中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故不符合题意；在D中，AB⊥DE，AB⊥CE，DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合题意．故选BD．
题型三 较难位置关系的判断(2)
21．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交成60°角 D．异面且成60°角
21．答案 D 解析 如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成
的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°．
22．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③
CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
22．答案 ①②③④ 解析 由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于
③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．
23．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，
在这个正四面体中：
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
23．答案 ②③④ 解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN
为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN．
24．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几
何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．答案 B 解析 将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥
BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B 平面PAD，E∈平面PAD，E AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B．
25．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把
这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
25．答案 B 解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有
一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF 平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B．
26．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面
ABD⊥平面ACD．下列结论正确的是( )
A．BD⊥AC B．△BAC是等边三角形
C．三棱锥D－ABC是正三棱锥 D．平面ADC⊥平面ABC
26．答案 ABC 解析 由题意易知，BD⊥平面ADC，又AC 平面ADC，故BD⊥AC，A中结论正确；
设等腰直角三角形ABC的腰为a，则BC＝a，由A知BD⊥平面ADC，CD 平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得BC＝×a＝a，∴AB＝AC＝BC，则△BAC是等边三角形，B中结论正确；易知DA＝DB＝DC，又由B可知C中结论正确，D中结论错误．
27．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，
将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD．
27．答案 ①②④ 解析 由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行
四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP．因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC．又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN 平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE 平面MNBA，AD 平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD．因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD 平面AED，所以EC⊥AD，④正确．
28．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且
AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是( )
A．AC∥平面BEF B．B，C，E，F四点不可能共面
C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直
28．答案 D 解析 A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，则四边形AOMF
是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM 平面BEF，AC 平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．
29．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又
P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．
其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)
29．答案 ①②③ 解析 连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．
30．(多选)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是( )
A．三棱锥A－D1PC的体积不变 B．A1P∥平面ACD1 C．DP⊥BC1 D．平面PDB1⊥平面ACD1
30．答案 ABD 解析 对于A，连接AD1，CD1，AC，D1P，如图，由题意知AD1∥BC1，AD1 平面AD1C，
BC1 平面AD1C，
从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面的三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，A1P，则A1C1∥AC，易知A1C1∥平面AD1C，由A知，BC1∥平面AD1C，又A1C1∩BC1＝C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1，又A1P 平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接DB1，PD，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥平面ACD1，从而由面面垂直的判定定理知平面PDB1⊥平面ACD1，故D正确．
题型四 截面问题
31．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，则作过E，F，G三点的截
面图形为( )
A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形
31．答案 C 解析 作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M．②
在侧面A1D内，连接LG交AA1于K．③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H．④连接KE，FH．则五边形EFHGK即为所求的截面．
32．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，
则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )
A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形
32．答案 D 解析 取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G，
由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH 平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形．
33．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为( )
A． B． C． D．
33．答案 A 解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成
的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×××sin 60°＝．故选A．
34．如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，
OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
34．答案 S3设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，利用等体积法易得
S1＝a，S2＝b，S3＝c，∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)＝c2(a2－b2)，又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S335．(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩
平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
35．答案 A 解析 如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n．故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A．
36．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平
面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A． B． C． D．
36．答案 B 解析 如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，易知MN
∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP．又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，AN，MN为平面AMN内的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，四边形DBQP的面积即所求．因为PQ∥DB，所以四边形DBQP为梯形，PQ＝BD＝，梯形的高h＝＝，所以四边形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝．
37．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，
SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
37．答案 解析 如图，取AC的中点G，连接SG，BG．易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，
BG 平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB．因为SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD．同理SB∥FE．又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HFACDE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝．
38．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°
38．答案 C 解析 因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ 平面ABC，MN 平面ABC，则
MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，又MN 平面PQMN，AC 平面PQMN，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．
39．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下
四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是( )
A．① B．② C．③ D．④
39．答案 B 解析 作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形
MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确．
40．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1，P的
平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．
40．答案 a 解析 ∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩
平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ．
又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ．∴＝＝，即PQ＝2PM．又知△APM∽△ADB，∴＝＝，∴PM＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a．
