专题03 复数问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
1．答案 A 解析 ＝1＋2i，z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2i)i，由z＋a＋b
＝0，得a＝1，b＝－2，故选A．
2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
2．答案 A 解析 因为a，b为实数，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝0，解得，a＝1，b＝－1．
故选A．
3．(2022·全国甲理) 若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i
3．答案 C 解析 ＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝4，＝＝－＋i．故选C．
4．(2022·全国甲文) 若z＝1＋i．则|iz＋3|＝( )
A．4 B．4 C．2 D．2
4．答案 D 解析 因为z＝1＋i．所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝2．故选D．
5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．答案 D 解析 由题设有1－z＝＝－i，所以z＝1＋i，故z＋＝2，故选D．
6．(2022·新高考Ⅱ) (2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i
6．答案 D 解析 (2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i，故选D．
7．(2022·北京) 若复数z满足iz＝3－4i＝，则|z|＝( )
A．1 B．5 C．7 D．25
7．答案 B 解析 由题意有z＝＝1＋i，故|z|＝＝5．故选B．
8．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i) i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
8．答案 B 解析 a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3，故选B．
【知识总结】
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数 b＝0；②z是虚数 b≠0；③z是纯虚数 a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
【同类问题】
题型一 复数的概念
1．(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
1．答案 C 解析 方法一 因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3．
方法二 因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3．
2．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
2．答案 D 解析 因为＝＝＝－i，所以z＝i．
3．若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
3．答案 C 解析 ∵＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i，
∴＝2＋i，∴的虚部为1．
4．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C． D．2
4．答案 D 解析 方法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．
方法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2．
5．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i
5．答案 B 解析 由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴解得x
＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i．
6．(2021·上海)已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
6．答案 解析 ∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝．
7．如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
7．答案 A 解析 ＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选
A．
8．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
8．答案 －1 解析 ∵z为纯虚数，∴∴x＝－1．
9．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
9．答案 ABC 解析 z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；对于
B，模长|z|＝，正确；对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．
10．(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是( )
A．若|z|＝2，则z·＝4
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
10．答案 AD 解析 若|z|＝2，则z·＝|z|2＝4，故A正确；设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，
b2∈R)，由|z1＋z2|＝|z1－z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2则a1a2＋b1b2＝0，而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，则a2－1≠0，即a≠±1，所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确．
题型二 复数的四则运算
11．(2021·新高考全国Ⅰ)已知z＝2－i，则z(＋i)等于( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
11．答案 C 解析 因为z＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i．
12．(2021·北京)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝( )
A．1 B．i C．1－i D．1＋i
12．答案 D 解析 由题意可得z＝＝＝1＋i．
13．(2020·新高考全国Ⅰ)等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
13．答案 D 解析 ＝＝＝－i．
14．(2021·全国乙)设iz＝4＋3i，则z等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
14．答案 C 解析 方法一 (转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝
＝3－4i．
方法二 (利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以即所以z＝3－4i．
方法三 (巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i．
15．(2021·全国乙)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
15．答案 C 解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝
4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i．
16．(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i
16．答案 B 解析 z＝＝＝＝－1＋i．
17．(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝－i，则( )
A．|z|＝2 B．|z|＝4 C．z的共轭复数＝＋i D．z2＝4－2i
17．答案 AC 解析 依题意得|z|＝＝2，故A正确，B错误；＝＋i，C正确；
z2＝(－i)2＝3－2i＋i2＝2－2i，D错误．
18．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝________．
18．答案 －i 解析 ∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝
＝＝－i．
19．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且＝3＋2i，则a＝________，b＝________．
19．答案 5 1 解析 由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则＝a－bi，所以＝(a－bi)＝
＋i＝3＋2i，故＝3，＝2，所以a＝5，b＝1．
20．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
20．答案 BC 解析 由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正
确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．
题型三 复数的几何意义
21．(2021·新高考全国Ⅱ)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．答案 A 解析 ＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点
在第一象限．
22．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．答案 C 解析 因为z＝i2 023＋i(i－1)＝－i－1－i＝－1－2i，所以复数z在复平面内对应的点是(－1，
－2)，位于第三象限．
23．若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值
范围为( )
A．(－，) B．(－，0) C．(0，) D．[0，)
23．答案 B 解析 z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴解得
－
24．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i
24．答案 D 解析 由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋
＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i．
25．(2020·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z等于( )
A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i
25．答案 B 解析 由题意知，z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i．
26．在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3) C． D．
26．答案 D 解析 因为＝＝＝＝－＋i，所以z＝－－i，所以复数z
所对应的点的坐标为．
27．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
27．答案 C 解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|
＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．
28．(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
28．答案 2 解析 方法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1
＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i．因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以＝4，①，＝4，②，①2＋②2，得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝＝2．
方法二 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋．由题意知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量，且||＝||＝||＝2，可得||＝2||sin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．
29．已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )
A．1 B．－1 C． D．＋1
29．答案 B 解析 令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2
＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为－1．
30．(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复
数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．复数的模长等于 D．的共轭复数为－i
30．答案 ABC 解析 对于A，e2i＝cos 2＋isin 2，因为<2<π，即cos 2<0，sin 2>0，复数e2i对应的点
位于第二象限，A正确；对于B，＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，B正确；对于C，＝＝＝＋i，于是得＝＝，C正确；对于D，＝cos ＋isin ＝＋i，其共轭复数为－i，D不正确．专题03 复数问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
3．(2022·全国甲理) 若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i
4．(2022·全国甲文) 若z＝1＋i．则|iz＋3|＝( )
A．4 B．4 C．2 D．2
5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．(2022·新高考Ⅱ) (2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i
7．(2022·北京) 若复数z满足iz＝3－4i＝，则|z|＝( )
A．1 B．5 C．7 D．25
8．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i) i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
【知识总结】
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数 b＝0；②z是虚数 b≠0；③z是纯虚数 a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0 a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．
【同类问题】
题型一 复数的概念
1．(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
2．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
3．若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为( )
A．i B．－i C．1 D．－1
4．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C． D．2
5．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i
6．(2021·上海)已知z＝1－3i，则|－i|＝________．
7．如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
8．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
9．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i
10．(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是( )
A．若|z|＝2，则z·＝4
B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0
C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等
D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
题型二 复数的四则运算
11．(2021·新高考全国Ⅰ)已知z＝2－i，则z(＋i)等于( )
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
12．(2021·北京)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝( )
A．1 B．i C．1－i D．1＋i
13．(2020·新高考全国Ⅰ)等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
14．(2021·全国乙)设iz＝4＋3i，则z等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
15．(2021·全国乙)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
16．(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i
17．(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝－i，则( )
A．|z|＝2 B．|z|＝4 C．z的共轭复数＝＋i D．z2＝4－2i
18．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝________．
19．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且＝3＋2i，则a＝________，b＝________．
20．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
题型三 复数的几何意义
21．(2021·新高考全国Ⅱ)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 023＋i(i－1)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值
范围为( )
A．(－，) B．(－，0) C．(0，) D．[0，)
24．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i
25．(2020·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z等于( )
A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i
26．在复平面内，复数＝(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3) C． D．
27．(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
28．(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
29．已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )
A．1 B．－1 C． D．＋1
30．(多选)欧拉公式exi＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复
数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．复数的模长等于 D．的共轭复数为－i