专题08 三角恒等变换问题
【高考真题】
1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sinβ，则( )
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
2．(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝__________，cos2β＝__________．
【知识总结】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 sin α＝±.
(2)商的关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tan α tanα －tanα －tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
3．三角恒等变换
(1) 和角差角公式：
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝.
(2)二倍角公式：
sin 2α＝2sinαcosα，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
(3)降幂公式：
sin2α＝，cos2α＝.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
【同类问题】
题型一 给角求值
1．tan 105°等于( )
A．2－ B．－2－ C．－2 D．－
2．等于( )
A．1 B． C． D．
3．化简等于( )
A． B． C． D．2
4．sin 40°(tan 10°－)等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ．
6．的值为( )
A．1 B． C． D．2
7．tan 67.5°－的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
8．求值：＝ ．
9．已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于( )
A．－ B．－ C． D．
10．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．cos2－sin2 B． C．2sin 195°cos 195° D．
题型二 给值求值
11．(2021·全国乙)cos2－cos2等于( )
A． B． C． D．
12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )
A． B． C． D．
13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( )
A． B． C． D．
14．(2021·全国甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( )
A． B． C． D．
15．若cos＝，则cos等于( )
A． B．－ C． D．－
16．已知sin＋cos α＝，则sin等于( )
A． B． C．－ D．－
17．已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于( )
A．－3 B． C．－ D．3
18．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ ．
19．已知cos＝，θ∈，则sin＝ ．
20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ＝________．
题型三 给值求角与多选题
21．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于( )
A． B． C． D．
22．已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ ．
23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
24．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A． B．或 C． D．2kπ＋(k∈Z)
25．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ ．
26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
27．已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A． B． C． D．
28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
29．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
30．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1专题08 三角恒等变换问题
【高考真题】
1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sinβ，则( )
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
1．答案 C 解析 由已知得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ
＋cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C．
2．(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝__________，cos2β＝__________．
2．答案 解析 α＋β＝，∴sinβ＝cosα，即3sinα－cosα＝，即(sinα－cosα)
＝，令sinθ＝，cosθ＝，则sin(α－θ)＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ，∴sinα＝sin(θ＋＋2kπ)＝cosθ＝，则cos2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝．故答案为与．
【知识总结】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 sin α＝±.
(2)商的关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tan α tanα －tanα －tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
3．三角恒等变换
(1) 和角差角公式：
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝.
(2)二倍角公式：
sin 2α＝2sinαcosα，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
(3)降幂公式：
sin2α＝，cos2α＝.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
【同类问题】
题型一 给角求值
1．tan 105°等于( )
A．2－ B．－2－ C．－2 D．－
1．答案 B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝＝＝－2
－．
2．等于( )
A．1 B． C． D．
2．答案 B 解析 ＝＝＝＝．
3．化简等于( )
A． B． C． D．2
3．答案 B 解析 原式＝＝＝＝
＝．
4．sin 40°(tan 10°－)等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
4．答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin
40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝＝＝－1．
5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ．
5．答案 － 解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝
－＝－＝－＝－＝－＝－．
6．的值为( )
A．1 B． C． D．2
6．答案 C 解析 原式＝＝＝＝．
7．tan 67.5°－的值为( )
A．1 B． C．2 D．4
7．答案 C 解析 tan 67.5°－＝－＝－＝
＝＝2．
8．求值：＝ ．
8．答案 8 解析 原式＝＝＝＝＝8．
9．已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于( )
A．－ B．－ C． D．
9．答案 B 解析 因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，因此
＝＝＝＝－．
10．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．cos2－sin2 B． C．2sin 195°cos 195° D．
10．答案 BC 解析 cos2－sin2＝cos＝cos ＝，故A错误；＝·＝
tan 45°＝，故B正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故C正确；＝＝≠，故D错误．
题型二 给值求值
11．(2021·全国乙)cos2－cos2等于( )
A． B． C． D．
11．答案 D 解析 因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos
＝cos ＝．
12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )
A． B． C． D．
12．答案 A 解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0，解
得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝＝＝．
13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( )
A． B． C． D．
13．答案 B 解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α．因
为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝．
14．(2021·全国甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于( )
A． B． C． D．
14．答案 A 解析 方法一 因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝
，解得sin α＝．因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝．
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝．因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝．
15．若cos＝，则cos等于( )
A． B．－ C． D．－
15．答案 C 解析 ∵cos＝．∴cos＝sin＝sin＝，∴cos＝1
－2sin2＝1－＝．
16．已知sin＋cos α＝，则sin等于( )
A． B． C．－ D．－
16．答案 D 解析 ∵sin＋cos α＝，∴sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，∴sin α－cos α
＋cos α＝，∴sin α＋cos α＝，∴cos＝，∴sin＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×2－1＝－．
17．已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于( )
A．－3 B． C．－ D．3
17．答案 C 解析 由cos＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan＝
＝＝－．
18．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ ．
18．答案 － 解析 因为α，β∈，所以<α＋β<2π，<β－<，因为sin(α＋β)＝－，sin
＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－．
19．已知cos＝，θ∈，则sin＝ ．
19．答案 解析 由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即
sin 2θ＝．因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝．
20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ＝________．
20．答案 － 解析 因为tan＝，所以sinα＝2sincos＝＝＝，cosα＝cos2－
sin2＝＝＝∈．又α∈(0，π)，所以a∈，又β∈(0，π)，所以α＋β∈．又sin(α＋β)＝∈，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－．
题型三 给值求角与多选题
21．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于( )
A． B． C． D．
21．答案 C 解析 因为sin2＋cos＝，所以＋cos A－sin A＝，即－
sin A＝，解得sin A＝，因为A为钝角，所以cos A＝－＝－＝－．由sin B＝，且B为钝角，得cos B＝－＝－＝－．所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝．又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，所以A＋B＝．
22．已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ ．
22．答案 解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝．又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝．因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos 2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝．
23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
23．答案 － 解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝>0，且α∈(0，π)，
∴0<α<．又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<．∵tan β＝－<0，β∈(0，π)，∴<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝＝＝1，∴2α－β＝－．
24．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A． B．或 C． D．2kπ＋(k∈Z)
24．答案 C 解析 由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos(α
＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝．
25．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ ．
25．答案 － 解析 依题意有所以tan(α＋β)＝＝＝
1．又所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－．
26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
26．答案 [－1，1] 解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－
β≤π，∴α－β＝，∴即≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin．∵≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．
27．已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A． B． C． D．
27．答案 B 解析 由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得sin xcos y＋cos xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，则tan x＝
3tan y，所以tan(x－y)＝＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f(x)＝tan x在x∈上单调递增，又x，y∈，则x－y的最大值为．
28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
28．答案 BCD 解析 对于A，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×
＋×＝．
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A错误．对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
29．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
29．答案 AC 解析 因为cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝
＝，故A正确；因为sin(α＋β)＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，故B错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝＝，故C正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝＝，所以tan αtan β＝，故D错误．
30．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
30．答案 AD 解析 对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]
＝－cos(α－γ)，故A正确；对于B，3sin x＋3cos x＝6＝6sin，故B错误；对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以f(x)的最大值为，故C错误；对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
