一元二次方程的应用（一）面积问题
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课 题：一元二次方程的应用（一）
面积问题
序 号： （ 9 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 29页 例7
学习目标：1会列一元二次方程解决面积问题
2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理
重 点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难 点：寻找实际问题中的等量关系，自主探险究和合作交流得到解决问题的最佳方案
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1、三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢
3、长方形的面积公式又是什么？ 4．梯形的面积公式是什么？
5、圆的面积公式是什么？
6、一个正方形的面积是121m，求它的边长是多少m？
一个长方形的长比宽多5米，它的面积是36米，求它的长和宽。
例1：将一个正方形花园的每边缩小2米后，改造成一个面积为25米2的小花园，那么原来大花园的每边长是多少呢？
注意：列方程解应用题时，得到的方程的解要符合实际意义才能取，否则舍去。
通过本题的学习，你能总结出列一元二次方程解应用题的一般步骤吗？
归纳：
例2: 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m ，小道的宽应是多少？
跟踪练习：
学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，求小道的宽？
例3：要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得
跟踪练习：如图，一个院子长10m，宽8m，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度.
例4：:某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：
解：
例5：如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形
跟踪练习：学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形的自行车棚。一边利用图书馆的后墙，并利用已有的总长为25米的铁围栏。请你设计，如何搭建较合适？
例6：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
1学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵
三条等宽的小道，要使种植面积为250平方米，求小道的宽.
2学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
3要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米。求原正方形广场的边长。（精确到0.1米）
4一块长为30米，宽为20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但还不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
面积问题
序 号： （ 9 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 29页 例7
学习目标：1会列一元二次方程解决面积问题
2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理
重 点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难 点：寻找实际问题中的等量关系，自主探险究和合作交流得到解决问题的最佳方案
学法指导：合作探究
学 习 过 程
1、三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢
3、长方形的面积公式又是什么？ 4．梯形的面积公式是什么？
5、圆的面积公式是什么？
6、一个正方形的面积是121m，求它的边长是多少m？
一个长方形的长比宽多5米，它的面积是36米，求它的长和宽。
例1：将一个正方形花园的每边缩小2米后，改造成一个面积为25米2的小花园，那么原来大花园的每边长是多少呢？
注意：列方程解应用题时，得到的方程的解要符合实际意义才能取，否则舍去。
通过本题的学习，你能总结出列一元二次方程解应用题的一般步骤吗？
归纳：
例2: 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m ，小道的宽应是多少？
跟踪练习：
学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，求小道的宽？
例3：要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析1】中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为27︰21＝9︰7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，若设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【分析2】设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。依题意得
跟踪练习：如图，一个院子长10m，宽8m，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度.
例4：:某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2 xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：
解：
例5：如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形
跟踪练习：学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形的自行车棚。一边利用图书馆的后墙，并利用已有的总长为25米的铁围栏。请你设计，如何搭建较合适？
例6：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
1学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵
三条等宽的小道，要使种植面积为250平方米，求小道的宽.
2学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
3要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米。求原正方形广场的边长。（精确到0.1米）
4一块长为30米，宽为20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但还不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）