一元二次方程的应用（二）增长率降低率问题

课 题：一元二次方程的应用（二）
增长率、降低率问题
序 号： （ 10 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本30 页 例8
学习目标：
1会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
重 点：如何解决增长率与降低率问题。
难 点：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。
学法指导：合作探究
学 习 过 程
自主预习课本30页例8，完成下列问题：
1.某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1％）
2.据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各种活动获奖情况的统计，初一有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖。求这两年中获奖人次的平均年增长率（课本30页）。
1某服装进价是100元，售价是120元，利润是多少？利润率是多少？
2交通法规定，城市道路车速每小时不得超过40公里，一辆车速为每小时60公里的小汽车超速率是多少？
3某商店9月份的营业额是5000元，10月份是6000元，营业额的增长了多少元？增长率是多少？
引入：由《课前准备》练习，你能说出增长率的计算公式吗？增长前后数量关系如何表示？
增长率=100% 原数（1+增长率）=新数
增长数量与增长率有何区别？
探究1、某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为5000（1+x）元，
12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。
由此就可列方程：5000（1+x）2=7200
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数量与原数量的比。
增长率=增长数量∶原数量
设原数量为a ，增长率为x，
第一次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第二次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第三次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
第n次：增长前原数为 ，增长后的数为 ；
如果已知n次增长后的总量为b，则有下面等式：
a(1+x)n=b
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
探究2某药品经过二次降价，每瓶零售价由56元，降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
分析：设每次降价的百分率为x.
经历几次下降？每次下降前后数量如何表示?
第一次：原数 ，下降后的数
第二次：原数 ，下降后的数 ，整理为 。
可列方程 。
【说明】此例是降低率问题，如题目无特别说明，一般都指平均降低率，降低率是降低数量与原数量的比。
降低率=降低数量∶原数量
设原数量为a ，降低率为x，
第一次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第二次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第三次：降低前原数为 ，降低后的数为 ；
第n次：降低前原数为 ，降低后的数为 。
如果已知n次降低后的总量为b，则有下面等式：
a(1-x)n=b
综上，在解决增长率或降低率的问题时，常用下面这个等式：
a(1x)n =b
牛刀小试：
我县2008年外贸收入2.5亿元，2010年达到4亿元，若平均每年增长率为x，则可列方程（ ）
A.2.5（1+x)=4 B. (2.5+x%）=4 C.2.5(1+x)(1+2x)=4 D.2.5(1+x%)=4
某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降低的百分数为（ ）
A. 9% B.9.5% C. 8.5% D. 10%
拓展提升：
例1 若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
例2两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】
⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为
元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
⑸思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。
例3为绿化家乡，某中学在2008年植树400棵，计划到2010年底，使这三年的植树总数达到1324棵，求此校植树平均每年增长的百分数？
分析：设此校植树平均每年增长的百分率为x.
2008年植树 棵； 2009年植树 棵；2010年植树 棵；
这样，三年植树总数可以用 式子表示。
可列方程为 ，在下面写出完整的解题过程。
跟踪练习：某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元。设月平均增长率为x，则列方程为（ ）
A.95=15(1+x),B.15(1+x)=95, C.15(1+x)+15(1+x)=95, D.15+15(1+x)+15(1+x)=95
例4 某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30％，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点，营业额达到48.3万元。问4、5两月的营业额增长的百分率各是多少？（课本31页）
某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( )
　 A、9% 　　　B、10％ 　　　C、11％　　　D、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
A 元 B 1.2元 C 元 D 0.82元
3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
　　A、(1-x)2=15% 　B、(1+x)2=1+15%　C、(1-x)2=1+15%　 D、(1-x)2=1-15%
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______.
6. 某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.
7. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
8.菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。