根的判别式

课 题：根的判别式
序 号：（ 7 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本32页
学习目标：能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况
重 点：能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况
难 点：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系
学法指导：合作探究
学 习 过 程
一元二次方程的求根公式是什么？
2.用公式法解下列方程。
⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0
自主预习课本 32 页，完成下列各题：
1.关于一元二次方程的解有三种情况：
当 0时，方程有两个不相等的实数根；
当 0时，方程有两个相等的实数根；
当 0时，方程没有实数根。
2.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2-4x-3=0 (2)3x2+x+5=0 （3）x2-6x=-9
【探究】根据问题填写下表：
方程
b2-4ac的值
b2-4ac的符号
x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
9
>0
不相等
3x2-2x+1=0
0
=0
相等
4x2+x+1=0
-15
<0
不存在
【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，
现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=，
（1）当b2-4ac>0时，根据平方根的意义等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．
（2）当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；
（3）当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数根．
由此可知，一元二次方程的根的情况是由（ ）的值决定的，因此，我们称“b2-4ac”
为“根的判别式”，通常用希腊字母“△”来表示，即△= b2-4ac 。
【结论】：
⑴当⊿=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。
⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。
⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。
例1不解方程，判定方程根的情况。
（1）9x2+6x+1=0 （2）2x2-9x+8=0 （3）x2-7x+18=0
【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。
解：
跟踪练习：不解方程，判定方程根的情况。
（1） （2） （3）5－4x－12＝0
例2不解方程，判定方程根的情况。
⑴16x2+8x=-3 （2）
跟踪练习：不解方程，判定方程根的情况。
（1） 4x2-3x=52 （2）4－3x－1＝x－2 （3）
例3
（1）若关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k的值 为（ ）；
若关于x的方程-x2+2x=m没有实数根，则m的值为（ ）；
若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等实数根，则k的值 为（ ）。
例4 k取何值时关于x的一元二次方程kx2-12x+9=0
（1）有两个实数根； （2）没有实数根。
跟踪练习：已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，
⑴方程有两个实数根？ （2）方程没有实数根？
例5 关于x的方程（k+1）x2+(2k-1)x+k+2=0有实数根，求k的取值范围。
跟踪练习： 若关于y的方程ay2-4y=1有实数根，求a的取值范围。
例6 若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：
1.不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）2－x＝6 (2)x2-+2=0
(3)(y-1)(y+3)+5=0 （4） x2-2mx+4（m-1）=0

若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k为（ ）。
已知关于x的方程有两个实数根，则k为（ ）。
4.不解方程，判定方程x2+(m-1)x-3=0根的情况。
5.试说明m为任意实数时，关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0 总有两个不相等的实数根。