一元二次方程根与系数的关系
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文档简介
课 题：《一元二次方程根与系数的关系》
序 号： （ 8 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 35 页
学习目标：
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
重 点：一元二次方程的根与系数的关系及运用
难 点：定理的发现及运用
学法指导：合作探究
学 习 过 程
一元二次方程的一般形式是（ ），它的两根分别是
x1＝( ),x2＝（ )。
2、解方程，并把结果填进表格内。
一元二次方程
x1
x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
自主预习课本 35 页，完成下列各题：
1.若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 ? x2 =_______.
2.关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；
＝ 。
甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根
为 3﹑-10。则p = ，q = 。
4.以-3和5为根的一元二次方程是
探究：一元二次方程根与系数的关系
1.从具体问题分析：
根据《课前准备》表格中的两根计算出两根之和、两根之积，填在下表中。
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
观察表格中的数据，思考下列问题：
两根之和，与方程的系数有什么关系？
两根之积，与方程的系数又有什么关系呢？
2.从求根公式的角度分析：
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，x1=，x2=， 能得出以下结果：
x1＋x2= ，即：两根之和等于
x1?x2= ， 即：两根之积等于
归纳：根与系数的关系
文字表述： 一元二次方程的两根之和等于（ ），
两根之积等于（ ）。
公式表达： 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1、x2，
那么x1+x2＝（ ）,x1x2=（ ）。
一元二次方程根与系数的这种关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理”.
注意：
刚才我们探讨一元二次方程两根之和与两根之积与系数关系的两种表达式都是在方程有实数根（即b2－4ac≥0）的前提下，否则无法求出两根和与两根积，比如方程2x2—x+1=0没有实数根，所以两根之和与两根之积都没有。
例1 说出下列各方程两根之和与两根之积。
x2－7x－2=0 2、x2＋3x=0 x2－4x＋1=0
跟踪练习 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）-6x-15=0 （2）2x2＋3x－1=0
例2 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）3x2－x=2 （2）2=3x （3） -(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
跟踪练习 求下列方程的两根之和与两根之积.
（1） 2x2－3x=4 （2）5x-1= 4 （3）=4
例3 已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。
跟踪练习 选择：关于x的方程x2－2x＋m=0的两根之积为0,则m＝（ ）。
A、2 B、0 C、1 D、不确定
例4 已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例5 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的：
（1）平方和 （2）倒数和
跟踪练习：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
（2）x12＋x22 （3）x12x2＋x1x22
例6 已知a、b是方程2x2＋6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值：
跟踪练习 若m、n是方程2x2＋4x－6=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
例7 、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2）
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为_________________，其中a =____，b =____，c =____．
2.方程x2-3x+1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
3.已知α、β是方程2x2+3x=0的两个根，那么α+β=_______，α·β=_______ 。
4.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
5.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是__________________．
6. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
7. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8.若方程y2＋by－4=0的两根恰好互为相反数，则b的值为( )。
A、2 B、－2 C、0 D、无法确定
9.若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
10.已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．
11.已知α、β是方程2x2＋6x＋3=0的两个实数根，求下列各式的值。
（1）＋ （2）（α－2）（β－2） （3）α2＋β2
序 号： （ 8 ）
年 级： 九年级 单元名称：第23章一元二次方程
课 型： 新授课 上课时间：
学习内容：华东师大版课本 35 页
学习目标：
1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
重 点：一元二次方程的根与系数的关系及运用
难 点：定理的发现及运用
学法指导：合作探究
学 习 过 程
一元二次方程的一般形式是（ ），它的两根分别是
x1＝( ),x2＝（ )。
2、解方程，并把结果填进表格内。
一元二次方程
x1
x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
自主预习课本 35 页，完成下列各题：
1.若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1 ? x2 =_______.
2.关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；
＝ 。
甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根
为 3﹑-10。则p = ，q = 。
4.以-3和5为根的一元二次方程是
探究：一元二次方程根与系数的关系
1.从具体问题分析：
根据《课前准备》表格中的两根计算出两根之和、两根之积，填在下表中。
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2-3x+1=0
5+4x-1=0
观察表格中的数据，思考下列问题：
两根之和，与方程的系数有什么关系？
两根之积，与方程的系数又有什么关系呢？
2.从求根公式的角度分析：
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，x1=，x2=， 能得出以下结果：
x1＋x2= ，即：两根之和等于
x1?x2= ， 即：两根之积等于
归纳：根与系数的关系
文字表述： 一元二次方程的两根之和等于（ ），
两根之积等于（ ）。
公式表达： 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个实数根x1、x2，
那么x1+x2＝（ ）,x1x2=（ ）。
一元二次方程根与系数的这种关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理”.
注意：
刚才我们探讨一元二次方程两根之和与两根之积与系数关系的两种表达式都是在方程有实数根（即b2－4ac≥0）的前提下，否则无法求出两根和与两根积，比如方程2x2—x+1=0没有实数根，所以两根之和与两根之积都没有。
例1 说出下列各方程两根之和与两根之积。
x2－7x－2=0 2、x2＋3x=0 x2－4x＋1=0
跟踪练习 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）-6x-15=0 （2）2x2＋3x－1=0
例2 说出下列各方程两根之和与两根之积。
（1）3x2－x=2 （2）2=3x （3） -(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）
跟踪练习 求下列方程的两根之和与两根之积.
（1） 2x2－3x=4 （2）5x-1= 4 （3）=4
例3 已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。
跟踪练习 选择：关于x的方程x2－2x＋m=0的两根之积为0,则m＝（ ）。
A、2 B、0 C、1 D、不确定
例4 已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
例5 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的：
（1）平方和 （2）倒数和
跟踪练习：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
（2）x12＋x22 （3）x12x2＋x1x22
例6 已知a、b是方程2x2＋6x+3=0的两个实数根，求下列各式的值：
跟踪练习 若m、n是方程2x2＋4x－6=0的两个根，不解方程求下列各式的值。
例7 、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1） （2）
1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为_________________，其中a =____，b =____，c =____．
2.方程x2-3x+1=0的两根之和是 ，两根之积是 。
3.已知α、β是方程2x2+3x=0的两个根，那么α+β=_______，α·β=_______ 。
4.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．
5.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是__________________．
6. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
7. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
8.若方程y2＋by－4=0的两根恰好互为相反数，则b的值为( )。
A、2 B、－2 C、0 D、无法确定
9.若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
10.已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值．
11.已知α、β是方程2x2＋6x＋3=0的两个实数根，求下列各式的值。
（1）＋ （2）（α－2）（β－2） （3）α2＋β2