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高中数学人教新课标A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于选项A：如果直线b，c不相交，则m不一定垂直于平面α；对于选项B：显然不正确；对于选项C：显然不正确。
故答案为：D.
【分析】直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，A中没有说明两条直线相交，D中两条平行直线中一条与一个平面垂直，则另一条也与平面垂直。
2．下列说法中正确的个数是（ ）
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于①②，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的。
故答案为：B.
【分析】要使直线与平面垂直，则要求直线与平面内的任意一条直线都垂直，故①②不正确；③④是正确的。
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确．
故答案为：A.
【分析】直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确。
4．如图， 为正方体，下面结论：① 平面 ；② ；③ 平面 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确；由正方体的性质得 AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得AC1⊥BD，所以②正确；由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面CB1D1，所以③正确.
故答案为：Ｄ．
【分析】由正方体的结构特征，结合直线与平面平行与垂直的判定定理得知①②③正确。
5．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1，G2，G3三点重合于G，下面结论成立的是（ ）
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由折叠前后不变的元素关系，知SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF=G，
所以SG⊥平面GEF。
故答案为：A.
【分析】同平面图形的翻折前后不变的元素位置关系与数据关系可得到SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF=G，所以SG⊥平面GEF。
6．如图，在长方体 中， ， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 ，因为 是长方体，所以 平面 ，
所以 是 在平面 内的射影，所以 为 与平面 所成的角.在 中， ， ， ，所以 .
故答案为：D.
【分析】由长方体的结构特征，找到AC1在平面平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影为A1C1,于是 ∠ A1 C1 A就是所求的角，在对应三角形中求解。
7．已知 为△ 所在平面外一点，且 ， ， 两两垂直，则下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ， 两两垂直可得 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ，①②③正确.④错误，假设 ，由 平面 得 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.
故答案为：A.
【分析】由 P A ， P B ， P C 两两垂直可得 P A ⊥ 平面 P B C ， P B ⊥ 平面 P A C ， P C ⊥ 平面 P A B，进一步得到线线垂直，从而①②③正确.④错误。
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解法一：如图，设正方体的棱长为 ，上，下底面的中心分别为 ， ，则 ， 与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝ .
解法二：画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直且相等得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的重心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝ .
故答案为：D.
【分析】由正方体的结构特征，找到BB1在平面平面 AC D 1 内的射影为OD1,于是 ∠O1OD1就是所求的角，在对应三角形中求解。
二、填空题
9．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的 ．
【答案】外心
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
【分析】根据平面外一点到平面的斜线段与垂线段的关系，由P到△ABC三顶点的距离都相等得到点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
10．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝ .
【答案】13
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，
EC＝12，∴ED＝ ＝13.
故答案为：13.
【分析】由EC⊥平面ABC得到三 角形ECD为直角三角形，通过解三角形求ED.
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ．
【答案】B1C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
故答案为：B1C
【分析】由正方体的结构特征得，当点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1时，BD1垂直平面AB1C，则有AP⊥BD1.
三、解答题
12．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1.
【答案】解：证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，又AD 平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝ ，A1D＝ ，又AA1＝2，∴AD2＋A1D2＝AA ，∴A1D⊥AD，∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】通过证明AD与平面内两条相交直线都垂直来证明。
13．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥平面ABCD，过A作与SC垂直的平面交SB，SC，SD于E，K，H，求证：E是点A在直线SB上的射影．
【答案】证明： SA⊥BC，又∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.又AE 平面SAB，∴BC⊥AE，∵SC⊥平面AHKE，AE 平面AHKE，∴SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC，∵SB 平面SBC，∴AE⊥SB，即E为A在SB上的射影
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】结合图形，要证明E是点A在直线SB上的射影，也就是要证明AE⊥SB于E，通过证明AE⊥平面SBC来实现。
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
【答案】（1）证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝ CD，而AM∥CD
且AM＝ AB＝ CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD
（2）证明：由（1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）通过证明CD⊥平面PAD即线面垂直来证明MN⊥CD即线线垂直。
（2）当∠PDA＝45°时，△PAD为等腰直角三角形，在平面内找到两条直线都与MN垂直即可。
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高中数学人教新课标A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是（ ）
A．m⊥b，m⊥c，b α，c α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
2．下列说法中正确的个数是（ ）
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．不能确定
4．如图， 为正方体，下面结论：① 平面 ；② ；③ 平面 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图（1），在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1，G2，G3三点重合于G，下面结论成立的是（ ）
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF
6．如图，在长方体 中， ， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为△ 所在平面外一点，且 ， ， 两两垂直，则下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的 ．
10．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝ .
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ．
三、解答题
12．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．
求证：AD⊥平面A1DC1.
13．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥平面ABCD，过A作与SC垂直的平面交SB，SC，SD于E，K，H，求证：E是点A在直线SB上的射影．
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于选项A：如果直线b，c不相交，则m不一定垂直于平面α；对于选项B：显然不正确；对于选项C：显然不正确。
故答案为：D.
【分析】直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，A中没有说明两条直线相交，D中两条平行直线中一条与一个平面垂直，则另一条也与平面垂直。
2．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于①②，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的。
故答案为：B.
【分析】要使直线与平面垂直，则要求直线与平面内的任意一条直线都垂直，故①②不正确；③④是正确的。
3．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确．
故答案为：A.
【分析】直线与平面垂直的判定定理是直线与平面内两条相交直线都垂直，梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知A正确。
4．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由正方体的性质得，BD∥B1D1，结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确；由正方体的性质得 AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得AC1⊥BD，所以②正确；由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面CB1D1，所以③正确.
故答案为：Ｄ．
【分析】由正方体的结构特征，结合直线与平面平行与垂直的判定定理得知①②③正确。
5．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由折叠前后不变的元素关系，知SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF=G，
所以SG⊥平面GEF。
故答案为：A.
【分析】同平面图形的翻折前后不变的元素位置关系与数据关系可得到SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF=G，所以SG⊥平面GEF。
6．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】连接 ，因为 是长方体，所以 平面 ，
所以 是 在平面 内的射影，所以 为 与平面 所成的角.在 中， ， ， ，所以 .
故答案为：D.
【分析】由长方体的结构特征，找到AC1在平面平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影为A1C1,于是 ∠ A1 C1 A就是所求的角，在对应三角形中求解。
7．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由 ， ， 两两垂直可得 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ，①②③正确.④错误，假设 ，由 平面 得 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.
故答案为：A.
【分析】由 P A ， P B ， P C 两两垂直可得 P A ⊥ 平面 P B C ， P B ⊥ 平面 P A C ， P C ⊥ 平面 P A B，进一步得到线线垂直，从而①②③正确.④错误。
8．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解法一：如图，设正方体的棱长为 ，上，下底面的中心分别为 ， ，则 ， 与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝ .
解法二：画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直且相等得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的重心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝ .
故答案为：D.
【分析】由正方体的结构特征，找到BB1在平面平面 AC D 1 内的射影为OD1,于是 ∠O1OD1就是所求的角，在对应三角形中求解。
9．【答案】外心
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
【分析】根据平面外一点到平面的斜线段与垂线段的关系，由P到△ABC三顶点的距离都相等得到点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．
10．【答案】13
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，
EC＝12，∴ED＝ ＝13.
故答案为：13.
【分析】由EC⊥平面ABC得到三 角形ECD为直角三角形，通过解三角形求ED.
11．【答案】B1C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
故答案为：B1C
【分析】由正方体的结构特征得，当点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1时，BD1垂直平面AB1C，则有AP⊥BD1.
12．【答案】解：证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，又AD 平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝ ，A1D＝ ，又AA1＝2，∴AD2＋A1D2＝AA ，∴A1D⊥AD，∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】通过证明AD与平面内两条相交直线都垂直来证明。
13．【答案】证明： SA⊥BC，又∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.又AE 平面SAB，∴BC⊥AE，∵SC⊥平面AHKE，AE 平面AHKE，∴SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC，∵SB 平面SBC，∴AE⊥SB，即E为A在SB上的射影
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】结合图形，要证明E是点A在直线SB上的射影，也就是要证明AE⊥SB于E，通过证明AE⊥平面SBC来实现。
14．【答案】（1）证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝ CD，而AM∥CD
且AM＝ AB＝ CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD
（2）证明：由（1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）通过证明CD⊥平面PAD即线面垂直来证明MN⊥CD即线线垂直。
（2）当∠PDA＝45°时，△PAD为等腰直角三角形，在平面内找到两条直线都与MN垂直即可。
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