2022-2023学年苏科版九年级数学上册1.2 一元二次方程的解法 强化提优训练（word版 含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上《1.2 一元二次方程的解法》强化提优训练（综合1）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．方程的解是（　　）
A．－2 B．1，－2 C．－1，1 D．－1，3
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．把一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（　　）
A．，3 B．，15 C．3，3 D．3，15
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
6．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(　)
A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定
8．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有( )
A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个
9．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( )
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
10．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( )
A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4
二．填空题(30分)
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
12．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____．
13．对方程进行配方，得，其中______．
14．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________．
15．用配方法将方程化成的形式：________．
16．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为____．
17．已知4x2＋8(n＋1)x＋16n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为____．
18．若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别为m＋1与2m－4，则m＝__1__，＝____．
19．已知关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，则a＝__1__，b＝____．
20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________．
三。解答题（60分）
21．（24分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）；
(3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法）
(7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
22．（5分）若实数x满足x2－2x－1＝0，求2x3－7x2＋4x－2019的值．
23．（5分）求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和．
24．（5分）若100a＋64和201a＋64均为四位数，且均为完全平方数，求整数a的值．
25．（5分）阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－6＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2－x－6＝0,
解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)．
当x＜0时，原方程可化为x2＋x－6＝0，
解得x3＝－3，x4＝2(不合题意，舍去)，
∴原方程的解为x＝3或x＝－3.
请参照例题解方程：x2－|x－1|－1＝0.
26．（8分）已知实数a，b，c满足(a－b)2＋b2＋c2－8b－10c＋41＝0.
(1)求a，b，c的值．
(2)若实数x，y，z满足＝－a，＝，＝－，求的值．
27．（8分）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以．
(1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．方程的解是（　C　）
A．－2 B．1，－2 C．－1，1 D．－1，3
解：∵∴∴∴或∴，故选：C．
2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　A　）
A． B． C． D．
解：方程变形得：，即，配方得：，即．
故选：
3．把一元二次方程化成的形式，则，的值分别是（　A　）
A．，3 B．，15 C．3，3 D．3，15
解：∵x2-6x+6=0，∴x2-6x=-6，则x2-6x+9=-6+9，即（x-3）2=3，∴a=-3，b=3，故选：A．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）
A． B．且 C． D．且
解：由题意得，且解得且故选：D．
5．已知x＝-2是关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋m2x＋2＝0的解，则m的值是（B　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
解：将代入方程得：，解得：或，时，方程为，不合题意，舍去，则．故选：B．
6．已知关于x的一元二次方程有一个根为m，记，下列说法正确的是（　C　）
A． B． C． D．
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为m∴∴∴
故选：C
7．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是(B　)
A．4 B．5 C．4或5 D．不能确定
解：x2-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，x-1=0，x-2=0，解得x1=1，x2=2．分为两种情况：
①三角形的三边长分别为1、1、2时，∵1+1=2，∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；②三角形的三边长分别为1、2、2时，此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．故选：B．
8．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有(A)
A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个
【解】　①若n2－n－1＝1，解得n1＝2，n2＝－1；②若n2－n－1＝－1，n＋2为偶数，解得n＝0；③若n2－n－1≠0，n＋2＝0，解得n＝－2.
9．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为(A)
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
【解】　两式相减，得 (m2＋n2－12)－(m2－5n－6)＝0，∴m2＋n2－12－m2＋5n＋6＝0，
∴n2＋5n－6＝0，即(n＋6)(n－1)＝0，∴n1＝－6，n2＝1.把n＝－6代入m2＋n2－12＝0，得m2＝－24，不合题意，舍去；把n＝1代入m2＋n2－12＝0，得m2＝11，即m＝±，∴n＝1.
10．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是(B)
A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4
【解】y＝x3. ∴ y′＝3x2 ∴3x2＝12 ∴x1＝2，x2＝－2 故选：B
二．填空题(30分)
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-3k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2 4ac＝22 4×（ 3k）＞0．解得，故答案为：．
12．利用因式分解法可以将一元二次方程x（x﹣2）＋x﹣2＝0转化为两个一元一次方程求解，这两个一元一次方程分别为_____．
【答案】x﹣2＝0，x+1＝0 解：x（x﹣2）+x﹣2＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0．故答案为：x﹣2＝0，x+1＝0．
13．对方程进行配方，得，其中______．
【答案】解：由题意得：m=，故答案为：．
14．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为_________．
【答案】0解：∵，∴x为一元二次方程的一个根，∴，故答案为：0．
15．用配方法将方程化成的形式：________．
【答案】 解：故答案为：．
16．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为__8__．
【答案】8 【解】　移项，得(3x－c)2＝60，∴3x－c＝±，∴3x＝c±，∴x＝.∵两根均为正数，7＜＜8，∴整数c的最小值为8.
17．已知4x2＋8(n＋1)x＋16n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为____．
【答案】1【解】　4x2＋8(n＋1)x＋16n＝4[x2＋2(n＋1)x]＋16n＝4[x2＋2(n＋1)x＋(n＋1)2－(n＋1)2]＋16n＝4[x2＋2(n＋1)x＋(n＋1)2]－4(n＋1)2＋16n.∵4x2＋8(n＋1)x＋16n是一个完全平方式，∴－4(n＋1)2＋16n＝0，化简，得n2－2n＋1＝0，即(n－1)2＝0，∴n＝1.
18．若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别为m＋1与2m－4，则m＝__1__，＝____．
【答案】 4【解】　∵ax2＝b，∴x2＝，∴x＝±，∴方程的两根互为相反数．∵一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两根分别为m＋1与2m－4，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴m＋1＝2，2m－4＝－2，∴＝2，∴＝4.
19．已知关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，则a＝__1__，b＝____．
【答案】－【解】　∵关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，∴Δ＝4(1＋a)2－4(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝－4[(a＋2b)2＋(a－1)2]≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2≤0.又∵(a＋2b)2＋(a－1)2≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2＝0，∴a＋2b＝0，a－1＝0，∴a＝1，b＝－.
20、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________．
【答案】1＋，或1－. 【解】 ∵a※b＝a2－2ab，∴x※1＝x2－2x＝1.∴x2－2x－1＝0.∴x＝＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－.
三。解答题（60分）
21．（24分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）；
(3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法）
(7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
【答案】．(1) (2) (3) (4)
(5)x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣ (6)x1＝，x2＝
(7)x1＝﹣，x2＝﹣ (8)
【解】(1)解：∵，∴，，，∴，∴，
∴，；
(2)解：∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，；
(3)解：∵∴，∴，∴，∴，；
(4)解：∵，∴，∴，∴，．
(5)解：x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
(6)解：3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，
则x＝，即x1＝，x2＝；
(7)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，
2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣．
(8)解：3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．
22．（5分）若实数x满足x2－2x－1＝0，求2x3－7x2＋4x－2019的值．
【解】　∵x2－2x－1＝0，∴x2－2x＝1，∴2x3－7x2＋4x－2019＝2x3－4x2－3x2＋4x－2019
＝2x(x2－2x)－3x2＋4x－2019＝－3x2＋6x－2019＝－3(x2－2x)－2019＝－3－2019＝－2022.
23．（5分）求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和．
【解】　分两种情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.
②当x<0时，原方程可化为x2＋5x＋4＝0，解得x3＝－1，x4＝－4.综上所述，方程x2－5|x|＋4＝0的根为x1＝1，x2＝4，x3＝－1，x4＝－4，∴所有实数根的和为0.
24．（5分）若100a＋64和201a＋64均为四位数，且均为完全平方数，求整数a的值．
【解】　设100a＋64＝m2①，201a＋64＝n2②，则m，n均为正整数，且32≤m＜100，32≤n＜100.②－①，得101a＝n2－m2＝(n＋m)(n－m)．∵101是质数，且a＜101，∴n＋m＝101，∴m＝101－n，∴a＝n－m＝2n－101.把a＝2n－101代入201a＋64＝n2，整理，得n2－402n＋20237＝0，解得n1＝59，n2＝343(不合题意，舍去)，∴a＝2n－101＝17.
25．（5分）阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－6＝0.
解：当x≥0时，原方程可化为x2－x－6＝0,
解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)．
当x＜0时，原方程可化为x2＋x－6＝0，
解得x3＝－3，x4＝2(不合题意，舍去)，
∴原方程的解为x＝3或x＝－3.
请参照例题解方程：x2－|x－1|－1＝0.
【解】　当x≥1时，原方程可化为x2－x＝0, 解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)．
当x<1时，原方程可化为x2＋x－2＝0, 解得x3＝－2，x4＝1(不合题意，舍去)，∴原方程的解为x＝1或x＝－2.
26．（8分）已知实数a，b，c满足(a－b)2＋b2＋c2－8b－10c＋41＝0.
(1)求a，b，c的值．
(2)若实数x，y，z满足＝－a，＝，＝－，求的值．
【解】　(1)已知等式整理，得(a－b)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，∴a－b＝0，b－4＝0，c－5＝0，
∴a＝b＝4，c＝5.
(2)把a＝b＝4，c＝5代入已知等式，得＝－4，＝，＝－，即＋＝－，
＋＝，＋＝－，∴＋＋＝－，∴＝＝＝－8.
27．（8分）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以．
(1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值．
【解】(1)证明：根据完美方程的定义可知，∴，∵，
∴； (2)解：，解得：．
∵该一元二次方程为同族方程，∴的值应为整数，∴的值为-3或-1或1或3．