1.4空间向量的应用
一、空间距离
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是AB，C1D1，AD，DD1的中点．则点A1到直线EF的距离为_______；直线EF到直线MN的距离为________．
2、在棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A．a B．a C．a D．a
3、设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )
A． B． C． D．
4、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1中点，F为AB的中点，则CF到平面AEC1的距离为_______．
5、如图，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO＝.
(1)求证：BO∥平面PAC；
(2)计算BO与平面PAC之间的距离．
空间角
1、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
B． C． D．
2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为( )
A．－ B． C．－ D．
3、四棱锥P－ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_______．
5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．
6、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为_______．
7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
8、在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30°，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．
三、综合训练
1．已知平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α内的一点，则点P(1，2，－1)到平面α的距离是( )
A．1 B． C．2 D．2
2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，设二面角C-AB-O的平面角为θ，则cos θ＝( )
A． B． C． D．
3.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则下列结论不正确的是( )
A．PA＝4
B．三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π
C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为
D．AB与平面PBC所成角的正弦值为
4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135 C．45°或135° D．90°
6、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )
A． B． C．2 D．
/ 7、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别为边AA1，C1D1的中点，过点B，P，Q作一平面与线段CC1所在直线有一交点E.若正方体的棱长为4，则多面体EABCD的体积为( )
A．16 B． C． D．32
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值的取值范围是( )
A．(0，] B．[，] C．(0，] D．(0，]
9、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为时，AE＝________．
10、如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为___60°_____．
11、如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为______．
12、二面角α-l-β 的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则二面角α-l-β的平面角的大小为________．
13、如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为_______．
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，E是CC1的中点．
(1)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；
(2)求点C到平面A1BE的距离．
15．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD, EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF ＝1，点P在棱DF上．
(1)若P是DF的中点，
①求证：BF∥平面ACP；
②求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
(2)若二面角D-AP-C的平面角的余弦值为，求PF的长度．
17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．1.4空间向量的应用答案
一、空间距离
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是AB，C1D1，AD，DD1的中点．则点A1到直线EF的距离为________；直线EF到直线MN的距离为________．
2、在棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( A )
A．a B．a C．a D．a
3、设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( D )
A． B． C． D．
4、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1中点，F为AB的中点，则CF到平面AEC1的距离为________．
5、如图，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝120°，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，且PO＝.
(1)求证：BO∥平面PAC；
(2)计算BO与平面PAC之间的距离．
(1)证明：如图，连接OC，因为O为△ABC的外心，
所以OA＝OB＝OC，又因为AC＝BC＝1，
所以△OAC≌△OBC，
所以∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝60°，
故△OAC和△OBC都为等边三角形，可得OA＝AC＝CB＝BO＝1，
即四边形OACB为菱形，所以OB∥AC；
又AC 平面PAC，OB 平面PAC，
所以BO∥平面PAC.
(2)因为BO∥平面PAC，
所以BO到平面PAC的距离即为点O到平面PAC的距离，记为d，
由题意知PA＝PC＝＝＝，AC＝1，
所以S△PAC＝×1×＝，S△OAC＝×1×1×sin 60°＝，
又因为VP-OAC＝VO-PAC，所以×S△OAC×PO＝×S△PAC×d，
即××＝××d，解得d＝，
所以BO与平面PAC之间的距离为.
空间角
1、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( B )
B． C． D．
2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为( B )
A．－ B． C．－ D．
3、四棱锥P－ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为( D )
A． B． C． D．
4、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为________．
5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是___60°_____．
6、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________．
7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，
所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，
易得CD⊥DM.
又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM 平面PDM，
所以CD⊥平面PDM.
因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.
又PM 平面PDM，所以AB⊥PM.
(2)因为PM⊥MD，PM⊥DC，
所以PM⊥平面ABCD.
连接AM，则PM⊥AM.
因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，
所以AM＝，
又PA＝，所以PM＝2.
由(1)知CD⊥DM，
过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD.
故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－，2，0)，P(0，0，2)，C(，－1，0)，
N(，－，)，
所以＝(，－，).
易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0).
设直线AN与平面PDM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.
故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为.
8、在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．
(1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.
因为QA＝QD，OA＝OD，
则QO⊥AD，而AD＝2，QA＝，
故QO＝＝2.
在正方形ABCD中，因为AD＝2，DO＝1，故CO＝，
因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC.
因为OC∩AD＝O，AD，OC 平面ABCD，故QO⊥平面ABCD，
因为QO 平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.
(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，
结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，－1，0)，
故＝(－2，1，2)，＝(－2，2，0).
设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝1，z＝，故n＝.
而平面QAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，
故cos 〈m，n〉＝＝.
所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30°，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．
(1)证明：因为AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，则QD∥BC且QD＝BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形，所以CD∥BQ，
因为∠ADC＝90°，所以∠AQB＝90°，即BQ⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ 平面ABCD，
所以BQ⊥平面PAD，
因为BQ 平面MQB，所以平面MQB⊥平面PAD.
(2)因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ 平面PAD，
所以PQ⊥平面ABCD，又因为BQ⊥AD，
所以以Q为原点，以QA，QB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
则Q，A，P，B，C，
设＝λ＝λ＝，其中0≤λ≤1，
所以＝＋＝＋(－λ，λ，－λ)＝，
又＝，
设平面MBQ的法向量为m＝，
则所以，
取x＝(1－λ)，得m＝，
由题意知平面BQC的一个法向量为n＝，
因为二面角M-BQ-C的平面角为30°，
所以cos 30°＝＝＝，
因为0≤λ≤1，解得λ＝，
所以＝，
易知平面PAD的一个法向量为u＝，
sin θ＝|cos 〈，u〉|＝＝＝.
所以QM与平面PAD所成角的正弦值为.
三、综合训练
1．已知平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α内的一点，则点P(1，2，－1)到平面α的距离是( C )
A．1 B． C．2 D．2
2.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，设二面角C-AB-O的平面角为θ，则cos θ＝( B )
A． B． C． D．
3.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则下列结论不正确的是( C )
A．PA＝4
B．三棱锥P-ABC的外接球的表面积为32π
C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为
D．AB与平面PBC所成角的正弦值为
4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝，则l与α所成的角为( B )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5、已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( C )
A．45° B．135 C．45°或135° D．90°
6、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( A )
A． B． C．2 D．
/ 7、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别为边AA1，C1D1的中点，过点B，P，Q作一平面与线段CC1所在直线有一交点E.若正方体的棱长为4，则多面体EABCD的体积为( A )
A．16 B． C． D．32
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值的取值范围是( A )
A．(0，] B．[，] C．(0，] D．(0，]
9、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为时，AE＝__2－______．
10、如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为___60°_____．
11、如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为_2或
_____．
12、二面角α-l-β 的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则二面角α-l-β的平面角的大小为___60°_____．
13、如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________．
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，E是CC1的中点．
(1)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；
(2)求点C到平面A1BE的距离．
解：(1)由AA1⊥平面ABC，则在三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
由AC，BC 平面ABC，故CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB＝90°，
所以CC1，AC，BC两两垂直，故可构建以C为原点，，，CC1为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系(图略)，
所以B(0，2，0)，E(0，0，1)，A1(2，0，2)，C1(0，0，2)，则BC1＝(0，－2，2)，＝(0，－2，1)，EA1＝(2，0，1)，
若m＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则令z＝2，有m＝(－1，1，2)，
所以|cos 1.m|＝＝＝，故直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为.
(2)点C到平面A1BE的距离为.（过程略）
15．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC，AC＝BC，D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)若AC＝BC＝PD＝2，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．
解：(1)证明：取AC中点O，连接OP，OD，因为OD∥CB，AC⊥CB，所以AC⊥OD，
△PAC为正三角形，所以PO⊥AC，
AC⊥平面POD，PD 平面POD，所以AC⊥PD.
(2)由(1)及PD2＝PO2＋OD2，知OA，OP，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：
O(0，0，0)，A(1，0，0)，D(0，1，0)，C(－1，0，0)，P(0，0，)，＝(－1，0，－)，＝(1，0，－)，＝(0，1，－)，
设平面PAB法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝1, n＝(，，1)，
所以sin θ＝|cos ?，n?|＝＝＝.
即直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为.
16.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD, EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF ＝1，点P在棱DF上．
(1)若P是DF的中点，
①求证：BF∥平面ACP；
②求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
(2)若二面角D-AP-C的平面角的余弦值为，求PF的长度．
解：(1)①证明：连接BD，交AC于点O，连接OP.
因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF ∥ OP，
因为BF 平面ACP，OP 平面ACP，
所以BF ∥ 平面ACP.
②因为∠BAF＝90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD＝AB，
AF 平面ABEF，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.
所以B(1，0，0)，E，P，C(1，2，0).
所以＝，＝，
所以cos 〈，〉＝＝，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为.
(2)因为AB⊥平面ADF，
所以平面APD的法向量为n1＝(1，0，0).
设P点坐标为(0，2－2t，t)(0在平面APC中，＝(0，2－2t，t)，＝(1，2，0)，
设平面APC的法向量为n2＝(x，y，z)，
则取y＝1，
则x＝－2，z＝，
得平面APC的一个法向量为n2＝，
所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，
解得t＝或t＝2(舍).
所以P，
所以PF的长度|PF|＝＝.
17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．
解：以{，，}为正交基建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，A(0，0，0).
(1)因为AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，＝(0，2，0).
因为＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2).
设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，
即令y＝1，解得z＝1，x＝1，
所以m＝(1，1，1)是平面PCD的一个法向量，
从而cos 〈，m〉＝＝.
结合图形知平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2)因为＝(－1，0，2)，设＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1).
又＝(0，－1，0)，则＝＋＝(－λ，－1，2λ).
又＝(0，－2，2)，从而cos 〈，〉＝＝，设1＋2λ＝t，t∈[1，3]，
则cos2〈，〉＝＝≤.
当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|的最大值为，
因为y＝cos x在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值，
又因为BP＝＝，
所以BQ＝BP＝.
