2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第五节 三角恒等变换讲义-（Word含答案）

第五节 三角恒等变换
知识清单
一．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
（1）加减乘除变换
①
②
③
④
（2）平方变换
①
②
2．两角和的正弦公式：
两角差的正弦公式：
（1）加减乘除变换
①
②
③
④
（2）平方变换
①
②
3．两角和的正切公式：
两角差的正切公式：
（1）的公式变换
①
② 若，则有
（2）的公式变换
①
② 若，则有
（3）“1”的变换
① 如：
② 如：
4．辅助角公式
对于式子的化简，其实是两角和差公式的逆运用，
式子可变形为：．
若令，则，，其中称为辅助角，
即：，
当（题目中常见要求）时，则，所以．
一般记为：，其中，，．
题型训练（一）
题型一 两角和差公式的基础计算
1．已知为第二象限角，，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为锐角，为第三象限角，且，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（　　）
A． B． C． D．
5．在中，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．在中，，则的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．2
8．已知，则（　　）
A． B． C． D．
9．若，则
10． ， ，
11．已知，，则
12．
题型二 两角和差公式的变换
13．已知，则值等于（　　）
A． B． C． D．
14．如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
15．的值是（　　）
A． B． C．2 D．
16．在中，，则的大小为（　　）
A． B． C．或 D．或
17．，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知，且为锐角，则值等于（ ）
A． B． C． D．
19．已知，则 ，
20．在中，，则
21．已知，则
22．已知为锐角，且满足，则的值为
23．已知，求．
24．已知，求．
题型三 角的组合运算
①特殊角的拆分合并
25．（　　）
A． B． C． D．
26．（　　）
A． B． C． D．
27．
28．
②给值求值
29．已知锐角满足，则（　　）
A． B． C． D．
30．已知锐角满足，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
31．已知，，则
32．若，则
③给值求角
33．已知为锐角，且满足，则（　　）
A． B． C．或 D．
34．若，则（　　）
A． B． C． D．
35．已知为锐角，且，则的值是
36．已知，且，，则
题型四 辅助角公式的应用
37．函数的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
38．函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
39．函数的最大值为
40．函数，则的最大值与最小值之和为
综合训练
1．（　　）
A． B． C． D．
2．（　　）
A． B． C． D．
3．若，，且，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
4．已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．若，则等于（　　）
A． B．2 C． D．
6．设当时，函数取得最大值，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则
8．已知，则的值为
二．倍角公式
1．二倍角的正弦公式：
公式变换
（1）
（2），
（3）（由推导）
2．二倍角的余弦公式：
公式变换
（1）
（2）
（3）（由推导）
3．二倍角的正切公式：
4．半角公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
题型训练（二）
题型一 倍角公式的基础计算
1．若 ，则=（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．的值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则 ，
5． ，
6．若，则
题型二 倍角公式的运用
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（　　）
A． B． C． D．
9．函数的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．函数是（　　）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
11．已知，且，则
12．函数的最大值为 ，最小值为
题型三 角的组合运算
①特殊角求值
13．=（　　）
A． B． C． D．
14．（　　）
A． B． C． D．
15．求值：　　
16．求值：　　
②给值求值
17．若，则（　　）
A． B． C． D．
18．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
19．已知，则
20．已知且，，求的值．
③给值求角
21．已知为锐角，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
22．已知，求的值．
题型四 倍角公式、辅助角公式与三角函数综合
23．函数的单调递减区间为（　　）
A． B．
C． D．
24．函数图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
25．已知函数的最小正周期为，则当时，函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
26．已知函数，若函数的 与直线的两个相邻交点间的距离为，则函数的增区间为
27．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
28．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值．
题型五 简单的三角恒等变换
29．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
30．已知为第三象限角，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
31．的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
32．在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
综合训练
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为（　　）
A．1 B． C． D．
3．已知锐角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，，则（　　）
A． B． C． D．
5．求值：
6．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围．
第五节 三角恒等变换参考答案
题型训练（一）
题型一 两角和差公式的基础计算
1-8 A，C，A，D，C，B，D，B
9． 10．，， 11． 12．
题型二 两角和差公式的变换
13-18 C，B，C，A，C，D
19． 20． 21． 22． 23． 24．
题型三 角的组合运算
25-26 C，D 27． 28．2
29-30 A，B 31． 32．
33-34 B，C 35． 36．
题型四 辅助角公式的应用
37-38 C，D 39． 40．
综合训练
1-6 A，C，A，B，B，D
7． 8．
题型训练（二）
题型一 倍角公式的基础计算
1-3 D，A，D 4．， 5．， 6．
题型二 倍角公式的运用
7-10 D，A，B，D 11． 12．，
题型三 角的组合运算
13-16 D，C，4，
17-20 C，A，，
21-22 B，
题型四 倍角公式、辅助角公式与三角函数综合
23-26 C，A，D，
27．（1）2 （2），
28．（1） （2）的最小值为
题型五 简单的三角恒等变换
29-32 B，D，C，D
综合训练
1-4 B，D，D，A 5．1 6．（1） （2）