空间向量与立体几何中的常见题型二答案
存在性问题
用空间向量解决存在性问题时，不需要进行复杂的作图、论证和推理，只需通过坐标运算进行判断，一般用坐标待定法或比值待定法，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解的问题．
1、已知图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1＝AC＝2BD＝4.点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF＝DQ，CP－BF＝DQ－AE＝1.
(1)求证：E，F，P，Q四点共面，且EF∥平面PQB；
(2)是否存在点P使得平面PQB与平面PQE所成二面角的余弦值为？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，所以AC⊥BD，AA1⊥底面ABCD.
设AC，BD交点为O，以O为原点，
以OA所在直线，OB所在直线，过点O且与AA1平行的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(0，1，0).
设BF＝a，a∈[1，3]，
则E(2，0，a－1)，F(0，1，a)，P(－2，0，a＋1)，
Q(0，－1，a)，
所以＝(－2，1，1)，＝(－2，1，1)，
即EF∥PQ，故E，F，P，Q四点共面．
又EF 平面PQB，PQ 平面PQB，
所以EF∥平面PQB.
(2)不存在．理由如下：
在平面EFPQ中，＝(－2，1，1)，＝(－2，－1，1)，
设平面EFPQ的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则?－2x1＋y1＋z1＝0，
－2x1－y1＋z1＝0，?
令x1＝1，可得平面EFPQ的一个法向量为n1＝(1，0，2).
在平面PQB中，＝(－2，－1，a＋1)，＝(0，－2，a)，
设平面PQB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
令z2＝4，得平面PQB的一个法向量n2＝(a＋2，2a，4)，
则|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
可得(a＋10)2＝5a2＋4a＋20，
解得a＝2±2 [1，3]，
故不存在点P使得平面PQB与平面PQE所成二面角的余弦值为.
2、如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
（1）证明：平面平面；
（2）试探究在线段DM上是否存在点，使二面角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）在中，易得，，，
由，得，又，，，
又为中点，，，因为，平面，
平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：由(1)平面，以为原点，以为的正方向建立空间直角坐标系，，，，，由(1)得平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
所以，所以.
由题得,所以，
所以，所以，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以，解之得（舍去）或.
此时，所以.
3、如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
（1）求二面角的大小；
（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为面，面，所以，．
因为面，所以是斜线在面的射影，因为，
由三垂线定理知：．
分别以，，为，，轴建立如图坐标系，
，，，，．
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
因为，，，．
所以，取，得．所以．
因为，，，，
所以，取得，，所以．
因，
设二面角的大小为，为钝角，则，
所以．
（2）假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，
因为，所以，解得．
．
4、如图，在四棱锥中，四边形是矩形，△SAD是正三角形，且，AB＝1，P为棱AB的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：∥平面；
（2）在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
解：（1）取SC中点F，连EF、DF．
因为E，F分别为SB，SC的中点，
所以EFBC．
因为底面ABCD是矩形，P为棱ABCD的中点，
所以PDBC．
因此EFPD，从而四边形PEFD是平行四边形，
所以PE∥FD．又因为FD平面SCD，PE平面SCD，
所以PE∥平面SCD．
（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，
在等边三角形SAD中，P为AD的中点，所以，
又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，
所以平面ABCD，所以SP是四棱锥S-ABCD的高．
设，则，，
所以，所以m＝2．
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，．
设，
所以．
设平面PMB的一个法向量为，
则，
所以取．
易知平面SAD的一个法向量为，所以，
因为，所以，所以存在点M，位于AS的靠近点S的三等分点处满足题意.
5、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
解：(1)证明：因为E，F分别是AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
所以CF＝1，BF＝.
如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，于是AF＝＝3，所以AC＝＝2.由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，故以B为坐标原点，以AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，＝(0，2，1).
设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)，
于是＝(1－m，1，－2).
所以·＝0，所以BF⊥DE.
(2)易知平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0).
设平面DFE的法向量为n2＝(x，y，z)，
则
又＝(1－m，1，－2)，＝(－1，1，1)，
所以令x＝3，
得y＝m＋1，z＝2－m，
于是，平面DFE的一个法向量为n2＝(3，m＋1，2－m)，
所以cos 〈n1，n2〉＝ .
设平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角为θ，则sin θ＝，
故当m＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当B1D＝时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小．
6、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EF∥AB，EF＝1.
(1)证明：AC⊥平面BDF；
(2)若G为棱BF上的一点，使直线AG与平面BCF所成角的正弦值为，求AG的长．
解：(1)证明：取AD的中点H，
因为△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，
所以EH⊥AD，
因为平面ADE⊥平面ABCD，
且平面ADE∩平面ABCD＝AD，
所以EH⊥平面ABCD，
设AC，BD的交点为O，连接OF，OH，
则OH∥AB，且OH＝AB＝1，
因为EF∥AB，EF＝1，所以EF∥HO且EF＝HO，
所以四边形EFOH为平行四边形．
故FO∥EH且FO＝EH，
所以FO⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，
所以FO⊥AC，
在菱形ABCD中，有AC⊥BD，
因为FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDF.
(2)以O为原点，以OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，F(0，0，1).
设G(a，0，c)，＝λ(0≤λ≤1)，＝(a－1，0，c)，＝(－1，0，1)，
得a＝1－λ，c＝λ，即G(1－λ，0，λ)，
从而＝(1－λ，，λ)，＝(－1，，0).
设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，
由得取n＝(，1，)，
由已知可得＝，得λ2－λ＝0，
所以λ＝0或λ＝1，所以AG＝||＝2.
7、如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.
(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；
(2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图1，连接BD，由题意，△ADB是正三角形，设M是AB的中点，则DM⊥AB，所以DM⊥DC，
又DD1⊥平面ABCD，所以DM⊥平面DD1C1C.
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，D1(0，0，3)，
C(0，2，0)，B(，1，0)，
则＝(－，1，0)，
BD1＝(－，－1，3).
显然，平面D1CD的一个法向量是m＝(1，0，0)，
设平面BD1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝，
得n＝(，3，2)，
设二面角B-D1C-D的平面角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故二面角B-D1C-D的平面角的余弦值为.
(2)在线段D1C上存在点P使得AE∥平面PDB，此时＝.
证明如下：
设＝λ，即有D1P＝λD1C，
由(1)知D1，C，则D1C＝(0，2，－3)，
所以P，又D，B，
于是＝，＝，
设平面PBD的法向量为a＝，
则令x＝，
得a＝，
因为A，D1B的中点为E，
所以＝，
因为AE∥平面PDB，所以⊥a，
即·a＝·＝－－＋＝0，解得λ＝，
即线段D1C上存在点P使得AE∥平面PDB，此时＝.
8、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，∠C1CA＝60°，AB⊥AC，AC＝AB＝AA1＝2.
(1)求证：CA1⊥BC1；
(2)设点E在直线AA1上，记＝λ1，是否存在实数λ，使CE与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：如图，连接AC1，
∵AC＝AA1，∴侧面ACC1A1是菱形，∴AC1⊥CA1.
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AB⊥AC，AB 平面ABC，∴AB⊥平面AA1C1C，
∵CA1 平面AA1C1C，∴CA1⊥AB.
又AC1∩AB＝A，AC1，AB 平面C1AB，∴CA1⊥平面C1AB.
又BC1 平面C1AB，∴CA1⊥BC1.
(2)设棱C1A1的中点为D，连接AD，
∵∠AA1C1＝∠C1CA＝60°，∴△AA1C1是等边三角形，∴AD⊥A1C1，
又AC∥A1C1，∴AD⊥AC，∴AD⊥底面ABC．
又AB 平面ABC，∴AD⊥AB，∴AD，AC，AB两两垂直．
以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A xyz.
∵AC＝AB＝AA1＝2，∴A1D＝DC1＝1，AD＝，
∴A(0，0，0)，C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(－1，0，)，
则1＝(－3，0，)，＝(－2，2，0)，1＝(－1，0，)，＝(2，0，0)．
设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得即
令x＝1，得平面A1BC的一个法向量为n＝(1，1，)．
由＝λ1＝(－λ，0，λ)得，＝－＝(－λ－2，0，λ)．
由CE与平面A1BC所成角的正弦值为得，|cos 〈n，〉|＝，
即＝，解得λ＝－1，
故存在实数λ＝－1，使CE与平面A1BC所成角的正弦值为.
动态问题
解决空间动态问题的关键是由条件探索出动点的轨迹，然后利用轨迹特征确定有关的最值范围问题；求动点轨迹问题要分析寻找动点运动过程中的“定”，空间动点一般可转化为平面内的动点，结合常见曲线定义确定动点轨迹．
1、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中不正确的是( A )
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为
C．MP的最大值是
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为
2、在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P BB1C1体积的最小值是( C )
A． B． C． D．
3、如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是( D )
A．5＋2＋4
B．10＋4＋
C．10＋2＋
D.
4、已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，若平面α⊥AC1，则下列关于平面α截此正方体所得截面的判断中正确的是____①③④____(填序号)．
①截面形状可能为正三角形；
②截面形状可能为正方形；
③截面形状可能为六边形；
④截面面积的最大值为3.
5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上，若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是________．
6、如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是拋物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是____②③____．(填序号)
7、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，M是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点M的轨迹所形成的长度是___3_____．
8、在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是________．
9、在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，求点Q所形成的轨迹长度．
解：如图②，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
取PC上一点M，连接MD，MB，且DM⊥AC，又AC⊥BD，BD∩DM＝D，所以AC⊥平面BDM，则点Q的轨迹是线段BM.
以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P，C(－，0，0)，＝(，0，0)，＝，＝，＝(0，－2，0)．
设＝＋＝＋λ＝＋λ，0≤λ≤1，
则＝.
因为OA⊥DM，所以·＝0，解得λ＝，
所以＝，＝＋＝(0，－2，0)＋＝，
所以||＝ ＝，即点Q所形成的轨迹长度为.空间向量与立体几何中的常见题型二
本专题设置了空间向量与立体几何中常见的几种题型，包括常规题型、求最值问题、翻折问题、存在性问题和动态问题等五个类型，其中本节是存在性问题和动态问题两个类型。
存在性问题
用空间向量解决存在性问题时，不需要进行复杂的作图、论证和推理，只需通过坐标运算进行判断，一般用坐标待定法或比值待定法，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解的问题．
1、已知图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1＝AC＝2BD＝4.点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF＝DQ，CP－BF＝DQ－AE＝1.
(1)求证：E，F，P，Q四点共面，且EF∥平面PQB；
(2)是否存在点P使得平面PQB与平面PQE所成二面角的余弦值为？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．
2、如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
（1）证明：平面平面；
（2）试探究在线段DM上是否存在点，使二面角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3、如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
（1）求二面角的大小；
（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
4、如图，在四棱锥中，四边形是矩形，△SAD是正三角形，且，AB＝1，P为棱AB的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：∥平面；
（2）在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
5、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
6、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，AC＝2，△ADE为等腰直角三角形，∠AED＝90°，平面ADE⊥平面ABCD，且EF∥AB，EF＝1.
(1)证明：AC⊥平面BDF；
(2)若G为棱BF上的一点，使直线AG与平面BCF所成角的正弦值为，求AG的长．
7、如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3.
(1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值；
(2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
8、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，∠C1CA＝60°，AB⊥AC，AC＝AB＝AA1＝2.
(1)求证：CA1⊥BC1；
(2)设点E在直线AA1上，记＝λ1，是否存在实数λ，使CE与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
动态问题
解决空间动态问题的关键是由条件探索出动点的轨迹，然后利用轨迹特征确定有关的最值范围问题；求动点轨迹问题要分析寻找动点运动过程中的“定”，空间动点一般可转化为平面内的动点，结合常见曲线定义确定动点轨迹．
1、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP⊥MC，则下列结论中不正确的是( )
A．点P的轨迹中包含AA1的中点
B．点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线长为
C．MP的最大值是
D．直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为
2、在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为0)，若θ1＝θ2，则三棱锥P BB1C1体积的最小值是( )
A． B． C． D．
3、如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是( )
A．5＋2＋4
B．10＋4＋
C．10＋2＋
D.
4、已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，若平面α⊥AC1，则下列关于平面α截此正方体所得截面的判断中正确的是________(填序号)．
①截面形状可能为正三角形；
②截面形状可能为正方形；
③截面形状可能为六边形；
④截面面积的最大值为3.
5、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，点P在侧面A1ABB1上，若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是_______．
6、如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是拋物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________．(填序号)
7、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，M是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点M的轨迹所形成的长度是________．
8、在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度是________．
9、在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC内(含边界)的一个动点，且满足DQ⊥AC，求点Q所形成的轨迹长度．
