空间向量与立体几何中的常见题型一（答案）
常规题型
1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
解：(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，
又底面ABCD为菱形，所以，所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，所以
又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．
(2)解：连接，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，
因为F为BC的中点，所以，
因为∥，所以，所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．
设平面DEF的法向量，则
，令，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30°，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，则QD∥BC且QD＝BC，
所以四边形BCDQ为平行四边形，所以CD∥BQ，
因为∠ADC＝90°，所以∠AQB＝90°，即BQ⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ 平面ABCD，
所以BQ⊥平面PAD，
因为BQ 平面MQB，所以平面MQB⊥平面PAD.
(2)因为PA＝PD，Q为AD的中点，所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ 平面PAD，
所以PQ⊥平面ABCD，又因为BQ⊥AD，
所以以Q为原点，以QA，QB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
则Q，A，P，B，C，
设＝λ＝λ＝，其中0≤λ≤1，
所以＝＋＝＋(－λ，λ，－λ)＝，
又＝，
设平面MBQ的法向量为m＝，
则所以，
取x＝(1－λ)，得m＝，
由题意知平面BQC的一个法向量为n＝，
因为二面角M-BQ-C的平面角为30°，
所以cos 30°＝＝＝，
因为0≤λ≤1，解得λ＝，
所以＝，
易知平面PAD的一个法向量为u＝，
sin θ＝|cos 〈，u〉|＝＝＝.
所以QM与平面PAD所成角的正弦值为.
3、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．
(1)证明：AE∥平面BDC1；
(2)若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为，求DE与平面BDC1所成角的正弦值．
解： (1)证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，如图所示．
因为E为BC的中点，所以EF∥CC1，EF＝CC1，
又D为AA1的中点，所以DA∥CC1，DA＝CC1，
所以EF∥DA且EF＝DA，故四边形ADFE为平行四边形，
所以AE∥DF，
因为AE 平面BDC1，DF 平面BDC1，
所以AE∥平面BDC1.
(2)以A为坐标原点，分别以，1的方向为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
设AA1＝2t(t＞0)，则B(6，0，0)，C1(3，3，2t)，A(0，0，0)，C(3，3，0)，D(0，0，t)，E，
所以＝(－6，0，t)，1＝(－3，3，2t)，＝(3，3，0)，所以|cos〈1，〉|＝＝＝，解得t＝.
设平面BDC1的法向量m＝(x，y，z)，由得
取x＝1，则m＝(1，－，2)为平面BDC1的一个法向量．
又D(0，0，)，所以＝，
所以cos〈，m〉＝
＝＝，
即DE与平面BDC1所成角的正弦值为.
4. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.
（1）求证:;
（2）求与平面所成角的余弦值.
解：（1）因为底面为正方形，且平面，
则可得两两垂直.
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
因为，所以
所以.
故，
所以.
（2）由（1）可知:
设平面的法向量为，
则，
即取，则.
所以.且
设与平面所成角为，
则.
所以.
即与平面所成角的余弦值.
5、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，
所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，
易得CD⊥DM.
又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM 平面PDM，
所以CD⊥平面PDM.
因为AB∥CD，
所以AB⊥平面PDM.
又PM 平面PDM，
所以AB⊥PM.
(2)因为PM⊥MD，PM⊥DC，
所以PM⊥平面ABCD.
连接AM，则PM⊥AM.
因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，
所以AM＝，
又PA＝，所以PM＝2.
由(1)知CD⊥DM，
过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD.
故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－，2，0)，P(0，0，2)，C(，－1，0)，
所以N，
所以＝.
易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0)．
设直线AN与平面PDM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
6、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PA＝PB，PC＝2.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若H为PA的中点，求二面角D CH B的余弦值．
解： (1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO，PO，AC．
因为四边形ABCD为菱形，所以AB＝BC＝AD＝CD.
由∠ABC＝60°，知△ABC为等边三角形．
因为O为AB的中点，所以CO⊥AB，由勾股定理得CO＝.
因为PA⊥PB，PA＝PB，所以PO⊥AB，且PO＝AB＝1.
由PO2＋CO2＝PC2得CO⊥OP，
又PO⊥AB，OC∩AB＝O，所以PO⊥平面ABCD，
因为PO 平面PAB，所以平面ABCD⊥平面PAB.
(2)以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(，－2，0)，P(0，0，1)，H.
从而＝，＝(0，2，0)，＝(，－1，0)．
设平面DCH的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥，n1⊥，得取n1＝(1，0，2)．
设平面BCH的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥，n2⊥，得取n2＝(1，，3)．
设所求二面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝＝.
因为θ是钝角，所以所求二面角的余弦值为－
7、如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，H是AD的中点，四边形ABCH为正方形，AB＝AA1＝A1D1.
(1)证明：平面B1CH⊥平面ADD1A1；
(2)求平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCH为正方形，所以CH⊥AD，
因为AA1⊥平面ABCD，CH 平面ABCD，所以CH⊥AA1，
因为AA1∩AD＝A，AD，AA1 平面ADD1A1，所以CH⊥平面ADD1A1，
因为CH 平面B1CH，所以平面B1CH⊥平面ADD1A1.
(2)由题意，可知AB，AD，AA1两两垂直，
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz，如图所示，设AB＝1，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，H(0，1，0)，B1，D(0，2，0)，D1(0，1，1)．
所以＝(1，0，0)，1＝，
设平面B1CH的法向量为n1＝(x，y，z)，则即
可得平面B1CH的一个法向量为n1＝(0，1，1)，
同理可得平面CDD1C1的一个法向量为n2＝(1，1，1)，
设平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值为.
8、如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．
(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；
(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1＝l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．
解：(1)证明：在长方体ABCD A1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形．
如图，连接ME.∵E，M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB1＝4，B1C1＝2，
∴四边形MEC1B1是正方形．
∴C1M⊥B1E.
∵N，M分别为棱AA1，BB1的中点，
∴NM⊥平面BCC1B1.
又B1E 平面BCC1B1，∴NM⊥B1E.
∵NM∩C1M＝M，NM，C1M 平面C1MN，∴B1E⊥平面C1MN.
∵B1E 平面B1D1E，
∴平面B1D1E⊥平面C1MN.
(2)易知AF∥平面A1B1C1D1，AF 平面AFM.
∵平面AFM∩平面A1B1C1D1＝l，
∴AF∥l.
∴直线l与平面B1D1E所成的角，即直线AF与平面B1D1E所成的角．
以D为坐标原点，，，1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，F(1，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，E(0，2，2)，
∴＝(2，2，0)，＝(0，2，－2)，＝(－1，2，0)．
设平面B1D1E的法向量为m＝(x，y，z)，
由得即
令z＝1，则y＝1，x＝－1，∴m＝(－1，1，1)，为平面B1D1E的一个法向量．
设直线l与平面B1D1E所成的角为α，
则sin α＝|cos〈，m〉|＝＝＝.
∴直线l与平面B1D1E所成角的正弦值为.
9、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB＝3.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；
(2)求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值．
条件①：BC＝5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．
解：(1)选择①②：证明：因为AC＝4，AB＝3，BC＝5，
所以AB⊥AC．
又因为AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，
所以AB⊥平面AA1C1C．
选择①③：证明：因为AC＝4，AB＝3，BC＝5，
所以AB⊥AC．
又因为平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
所以AB⊥平面AA1C1C．
(2)由(1)知AB⊥AC，AB⊥AA1.
因为四边形AA1C1C是正方形，所以AC⊥AA1.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，0，4)，A1(0，4，0)，C1(0，4，4)，
＝(3，－4，0)，＝(0，0，4)，＝(－3，0，4)．设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝3，则x＝4，z＝0，所以n＝(4，3，0)．
设直线BC与平面A1BC1所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
所以直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值为.
翻折问题
翻折问题中的处理关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系．一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化．
1、如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．
(1)证明：平面平面EBCD；
(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.
解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴，，，∴，，
在中，知，∵，∵，
∴∴，又EC，面EBCD，，∴面EBCD
∵面，∴面面EBCD
(2)由（1）知面EBCD，
∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
∴，，，
设∵，∴，∴，∴
设是面CEP的法向量，
∴，∴，令，
∴，，
设是面DEP的法向量，
∴，∴，∴
令，∴，
设平面与平面夹角为，则
∴平面与平面夹角的余弦值为
如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.
解：（1）连接交于点，
，
则，平面，
平面，
；
（2）由（1）知，，
如图建系，，
设，则.
所以.
设平面的法向量为，
所以.
令，则，
又与平面所成角的大小为，
所以，
整理得：，
解得.
3、如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；
(2)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．
解：(1)取D1E的中点N，连接AN，NF，
则NF＝EC，NF∥EC.
因为EC＝AB＝2，当AM＝AB＝1时，
AM＝EC，AM∥EC.
连接MF，则NF＝AM且NF∥AM，则四边形AMFN是平行四边形，所以AN∥MF.
又MF 平面D1AE，AN 平面D1AE，则MF∥平面D1AE.
(2)分别取AE，AB，BC的中点O，G，K，连接OD1，OM，OK，EG，
因为AD1＝ED1＝2，所以OD1⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE且交于AE，
所以OD1⊥平面ABCE，又OM，OK 平面ABCE，所以OD1⊥OM，OD1⊥OK.
易知OK∥AB，OM∥EG∥BC，又AB⊥BC，
所以OM⊥OK，
如图建立空间直角坐标系O-xyz.
则D1(0, 0，)，E(－1，1，0)，B(1，3，0)，C(－1，3，0)，所以ED1＝，＝(0，2，0)，BD1＝，
设平面CD1E的法向量为n＝(x, y, z)，
由得取z＝1，则n＝(－，0, 1).
记直线BD1与平面CD1E所成的角为φ，
则sin φ＝|cos ?BD1，n?|＝＝＝.
4、已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED.现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB.
(1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；
(2)求二面角B-AP-E的平面角的余弦值．
解：(1)证明：依题意得PE＝PC＝2，
分别取线段AB，CE的中点O，M，
连接PO，OM，MP，
则PM⊥EC，由PA＝PB，
得PO⊥AB.①
又OM为梯形ABCE的中位线，
所以OM∥BC，
由BC⊥AB，得OM⊥AB，②
又PO∩OM＝O，
从而AB⊥平面POM，则AB⊥PM.
在平面ABCE中，AB与CE相交，
所以PM⊥平面ABCE，又PM 平面PCE，
故平面PCE⊥平面ABCE.
(2)过点O作PM的平行线为z轴，以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(1，0，0)，B(－1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，2，)，
所以＝(1，－2，－)，＝(2，0，0)，＝(0，1，0)，
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即
令y＝1，得n＝(0，1，－)，
同理，平面PAE的一个法向量m＝(，0，1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝－，
由图可知二面角B-AP-E的平面角为钝角，所以二面角B-AP-E的平面角的余弦值为－.
5、在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将△CEF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且∠BEC1＝，连接C1B，C1A.
(1)求证：平面AFC1⊥平面ABC1；
(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小．
解：(1)证明：取AC1，BC1的中点分别为G，H，连接GH，GF，HE.如图所示，
则GH∥AB∥EF，GH＝EF＝AB，
因为EF⊥BE，EF⊥C1E，BE∩C1E＝E，
所以EF⊥平面BEC1，EH 平面BEC1，
所以EF⊥EH，所以GH⊥EH，
因为∠BEC1＝，E是BC的中点，
所以△EBC1为等边三角形，
所以EH⊥BC1，又因为GH 平面ABC1，
BC1 平面ABC1，GH∩BC1＝H，
所以EH⊥平面ABC1.
又因为GH∥EF，GH＝EF，所以四边形EHGF为平行四边形，所以FG∥EH，
所以FG⊥平面ABC1.又因为FG 平面AFC1，
所以平面AFC1⊥平面ABC1.
(2)以B为坐标原点，在平面BC1E内与BE垂直的直线为x轴，BE，BA所在的直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，2)，F(0，2，1)，C1(，1，0)，
易知平面BEC1的一个法向量为m＝(0，0，1)，
设平面AFC1的法向量为n＝(x，y，z)，
因为AC1＝(，1，－2)，＝(0，2，－1)，
所以令y＝1，
则z＝2，x＝，所以n＝(，1，2)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，
结合图形可知平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小为.
6、图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图①，连接AE，AC，AC交BE于点F.
因为＝2，DC＝3，所以CE＝2，所以AB＝CE，
又AB∥CD，所以四边形AECB是平行四边形．
在Rt△ACD中，AC＝＝2，
所以AF＝CF＝.
在图②中，AC1＝，
所以AF2＋C1F2＝AC，
所以C1F⊥AF，
由题意得C1F⊥BE，又BE∩AF＝F，
所以C1F⊥平面ABED，又C1F 平面BC1E，
所以平面BC1E⊥平面ABED.
(2)如图②，以D为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，FC1的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，
F，C1，
所以BC1＝，＝(，0，0)，
DC1＝，
设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，得n＝(0，－2，)，所以|n|＝，
记直线BC1与平面AC1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cos ?BC1，n?|＝＝＝.
7、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
(1)证明：平面GAC∥平面PEF；
(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，连接BE，交AC于点M，连接GM，CE.
由已知可得，四边形ABCE是正方形，∴M是线段BE的中点．
∵G为线段PB的中点，∴PE∥GM.
∵GM 平面GAC，PE 平面GAC，∴PE∥平面GAC．
∵E，F分别是线段AD，CD的中点，∴EF∥AC．
∵AC 平面GAC，EF 平面GAC，∴EF∥平面GAC．
又PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，∴平面GAC∥平面PEF.
(2)∵平面PEF⊥平面ABCFE，平面PEF∩平面ABCFE＝EF，PF⊥EF，
∴PF⊥平面ABCFE，∴FE，FC，FP两两垂直．
以点F为坐标原点，FE，FC，FP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，2，0)，A(2，1，0)，G.
∴＝，＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得令y＝1，则n＝(0，1，1)．
设直线AG与平面PAC所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
∴直线AG与平面PAC所成角的正弦值为.
求最值问题
和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值．
1、在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为( D )
A． B． C． D．
解：如图，取PB的中点M，连接CM.
因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
AC 平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC.
则点A到平面PBC的距离为AC，设AC＝2x.
由于BC＝PC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M为PB的中点，
所以CM⊥PB，CM＝.
可得S△PBC＝·2x·＝x·，
VP-ABC＝VA-PBC＝·(x·)·2x＝.
设t＝(0＜t＜2)，则x2＝4－t2.
所以VA-PBC＝＝(0＜t＜2)，
记V(t)＝(0＜t＜2)，则V′(t)＝.
令V′(t)＝0，解得t＝.
由V′(t)＞0得0＜t＜，
所以V(t)在上单调递增；
由V′(t)＜0得＜t＜2，
所以V(t)在上单调递减．
所以当t＝时，VA-PBC取得最大值.
2.如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值．
解：底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VE⊥AC，得VE⊥底面ABC，又EB⊥AC，以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，EV所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝2，则C，B，V，
设F，＝，＝(，0，－)，＝，＝，
设平面VBC的法向量为m＝，
则，即，取x1＝1.
所以m＝.
设平面VEF的法向量为n＝，
则，即，
解得z2＝0，令y2＝1，则x2＝－1，所以n＝，因为平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝＝＝＝·，
当x＝时，cos θ的最大值为.
3.如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD＝.
若AD＝2，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；
解：在平面EDC内作EF⊥CD于F．易知平面ABCD⊥平面EDC，平面ABCD∩平面EDC＝CD，所以EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高．
因为E为半圆弧CD上一点，所以CE⊥ED.
故VE-ABCD＝×S矩形ABCD×EF＝××2×＝CE×ED.
因为CE2＋ED2＝CD2＝5，
所以VE-ABCD≤×＝×＝，
当且仅当CE＝ED＝时等号成立，
故四棱锥E-ABCD的体积的最大值为.
4、如图，在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且AC＝a，BD＝b.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
解：要使吸光板的吸光量最大，则矩形EFGH的面积最大．设EH＝x，EF＝y.
因为FG∥EH，EH 平面ABD，FG 平面ABD，
所以FG∥平面ABD.
又因为FG 平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以FG∥BD.同理可证EF∥HG∥AC.
则＝＝，＝＝.
两式相加，得＋＝＋＝1.①
矩形EFGH的面积S＝xy.②
由①②得S＝－x2＋ax(0故当x＝－＝时，S有最大值，
此时y＝.
故当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点时，吸光板的吸光量最大．
5、已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
解：(1)证明：因为E，F分别是AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
所以CF＝1，BF＝.
如图，连接AF，由BF⊥A1B1，AB∥A1B1，得BF⊥AB，则AF＝＝3，所以AC＝＝2.由AB2＋BC2＝AC2，得BA⊥BC，
故以B为坐标原点，以AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系B xyz.
则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，＝(0，2，1)．
设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)，
于是＝(1－m，1，－2)．
所以·＝0，所以BF⊥DE.
(2)易知面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0)．
设面DFE的法向量为n2＝(x，y，z)．
则
又＝(1－m，1，－2)，＝(－1，1，1)，
所以令x＝3，得y＝m＋1，z＝2－m，
于是，面DFE的一个法向量为n2＝(3，m＋1，2－m)，
所以cos〈n1，n2〉＝ .
设面BB1C1C与面DFE所成的二面角为θ，则sin θ＝，
故当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，
即当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．空间向量与立体几何中的常见题型一
本专题设置了空间向量与立体几何中常见的几种题型，包括常规题型、求最值问题、翻折问题、存在性问题和动态问题等五个类型，其中本节是常规题型、求最值问题、翻折问题三个类型。
常规题型
1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面MQB⊥平面PAD；
(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30°，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值．
3、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点．
(1)证明：AE∥平面BDC1；
(2)若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为，求DE与平面BDC1所成角的正弦值．
4. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.
（1）求证:;
（2）求与平面所成角的余弦值.
5、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
6、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PA＝PB，PC＝2.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若H为PA的中点，求二面角D CH B的余弦值．
7、如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，H是AD的中点，四边形ABCH为正方形，AB＝AA1＝A1D1.
(1)证明：平面B1CH⊥平面ADD1A1；
(2)求平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值．
8、如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．
(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；
(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1＝l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．
9、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB＝3.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；
(2)求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值．
条件①：BC＝5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．
翻折问题
翻折问题中的处理关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系．一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化．
1、如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．
(1)证明：平面平面EBCD；
(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.
如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.
（1）求证：；
（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.
3、如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；
(2)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．
4、已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED.现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB.
(1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；
(2)求二面角B-AP-E的平面角的余弦值．
5、在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝2，BC＝4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将△CEF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且∠BEC1＝，连接C1B，C1A.
(1)求证：平面AFC1⊥平面ABC1；
(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小．
6、图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2.
(1)证明：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值．
7、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝，AD＝2，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把△DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．
(1)证明：平面GAC∥平面PEF；
(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
求最值问题
和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值．
1、在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为( )
A． B． C． D．
2.如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值．
3.如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD＝.若AD＝2，求四棱锥E-ABCD的体积的最大值；
4、如图，在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且AC＝a，BD＝b.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？
5、已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
