13.2.4三角形的外角 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
13.2.4 三角形的外角
1、在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3、什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48 °
三角形中，相邻两边所夹的角叫作三角形的内角.
三角形的内角和是 180°
2、如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50°
130°
课前热身
转化为一个平角或同旁内角互补等，
思路总结
C
B
A
E
D
2
1
C
B
A
D
E
C
B
A
D
A
B
C
D
F
E
这种转化思想是数学中的常用方法.
为了证明三个角的和为180°,
作辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思考：多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.
知识回顾
把 △ABC 的一边 BC 延长至点 D，
三角形的外角的概念
叫做
在三角形内角和定理的证明中，
得到 ∠ACD.
我们曾经
像这样，
由三角形的一边
与另一边的延长线组成的角，
三角形的外角.
C
B
A
D
∠ACD 是 △ABC 的一个外角
三角形的外角应具备的条件：
① 外角的顶点是三角形的一个顶点；
② 外角的一条边是三角形的一边；
③ 另一条边是三角形某条边的延长线.
在三角形的每个顶点处有多少个外角？
问题 1 如图，延长AC到E，
∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题 2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，
∠ACD =∠BCE；
A
B
C
画一画 画出 △ABC 的所有外角，共有几个呢
三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，
因此三角形共有 6 个外角.
F
A
B
C
D
E
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC 是 △AEC 的外角;
∠AEC 是 △BEC 和 △BEF 的外角;
∠EFD 是 △BEF 和 △DCF 的外角.
练一练
三角形的外角的性质
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
问题1 如图，△ABC 的外角 ∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？
即 ∠BCD+∠ACB=180°
三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角.
外角与相邻内角的大小不能确定。
问题 2 如图，△ABC 的外角 ∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
不相邻的内角
∴ ∠BCD=∠A+∠B.
∵ ∠A+∠B=180°-∠ACB，
∠BCD=180°-∠ACB
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
三角形的外角
与它不相邻的两个内角的和.
等于
推论 3：
D
过点C作CE∥ AB
A
B
C
1
2
∴ ∠1= ∠B
∠2= ∠A
∵ ∠ACD= ∠1+ ∠2
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
∴ ∠ACD=∠A+ ∠B
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
证明：
（等量代换）
如图 ，试比较∠2 和∠1、∠2和∠B的大小；
∴ ∠2＞∠1
探究新知
解：
∴ ∠2=∠1+∠B
∠2＞∠B
推论 4：
大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角
∵ ∠2是△ABC的外角
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
A
B
C
D
∠CAD=∠B+∠C
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
三角形内角和定理的推论
归纳总结
1
60°
110°
1、求下列各图中 ∠1 和 ∠2 的度数.
35°
120°
1
A
B
C
2
1
130°
32°
∠1=18 °, ∠2=50 °
(1)
(2)
(3)
∠1=85°
∠1=130°
对于一个外角及与它不相邻的两个内角，若已知其中任意两个角的度数，则可以求出第三个角度数.
知识拓展：
2、如图、∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
F
A
C
D
E
B
对应练习
∵ ∠A=42° ，∠ACE=18°
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE=60°
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF =88°
解：
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
解法一：
延长BD 交 AC 于点 E.
E
∵ ∠A=60°，∠B=20°
∴ ∠DEC
=80°
=∠A+∠B
∵ ∠DEC=80°，∠C=30°
∴ ∠BDC
=110°
=∠DEC+∠C
解法二：
延长CD交AB于点F（解题过程同解法一）.
巩固练习
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求 ∠BDC 的度数.
A
B
C
D
解法三：
连接AD，并延长到点E.
E
1
2
3
4
∠4=∠2+∠C
∴ ∠3=∠1+∠B，
∴ ∠BDC=∠3+∠4
=∠1+∠B+∠2+∠C
=∠BAC+∠B+∠C
又∵ ∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°
∴ ∠BDC=
=110°
60°+20°+30°
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
巩固练习
(等量代换)
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
4、如图，P 为 △ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求 ∠A 的度数．
E
对应练习
E
解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出 ∠A 的度数．
对应练习
5、如图 ，试比较 ∠3 、∠2、 ∠1 的大小 .
∴ ∠3＞∠2
解：
∵ ∠2 是 △ABC 的外角
∴ ∠2＞∠1
又 ∵ ∠3 是 △DCE 的外角
∴ ∠3＞∠2＞∠1
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）
(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）
6、已知：如图，D 是 △ABC内的一点.
求证：∠BDC>∠A
对应练习
A
B
C
D
E
例 5 如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明：
∵ ∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠BCA
∠3=∠BAC+∠ABC
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC
∴ ∠1+∠2+∠3=360°
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵ ∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
∴ ∠1+∠2+∠3=
你还有其他解法吗？
（三角形内角和定理）
（等式的性质）
（等量代换）
例 5 如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明：
∵ ∠1+∠BAC=180°
∠2+∠ABC=180°
∠3+∠BCA=180°
（平角的定义）
∴ ∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°
∴ ∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°
方法二：
（等式的性质）
（三角形内角和定理）
（等式的性质）
例 5 如图， ∠1, ∠2, ∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明：
过点A作AD∥ BC
∴ ∠2=∠4
∠3=∠DAC
（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠1+∠2+∠3=360°
∵ ∠1+∠4+∠DAC=360°
方法三：
（周角的定义）
（等量代换）
D
4
思考 你能总结出三角形三个外角 (三个顶点处各取一个) 和的数量关系吗？
三角形的三个外角(三个顶点处各取一个) 的和等于360°.
即： 三角形的外角和等于360°.
A
B
C
D
E
1、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
解法一：
连接 CD
F
∵ ∠B+∠E=180°-∠BFE
∠ECD+∠BDC=180°-∠CFD
又∵ ∠BFE=∠CFD
∴ ∠B+∠E=∠ECD+∠BDC
∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°
∴ ∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°
G
巩固练习
把分散的角集中到同一个三角形中，最后利用三角形的内角和定理去解决问题.
即利用“8”字型图形的性质
总结
A
B
C
D
E
1、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
F
G
解法二：
∵ ∠BFC=∠B+∠E
∠CGD=∠A+∠D
又∵ ∠C+∠BFC+∠CGD=180°
∴ ∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°
即 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E=180°
本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想，
或 运用外角的性质，
巩固练习
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
2、如图，求 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数.
解法一：
连接 CB
∵ ∠E+∠F+∠EDF=180°
∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
又∵ ∠EDF=∠BDC
∴ ∠E+∠F=∠DBC+∠DCB
∵∠A+∠ABF+∠FBC+∠DCB+∠ACD=180°
∴ ∠A+∠ABE+∠E+∠F+∠ACB=180°
巩固练习
2、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
解法二：
∵ ∠BGC=∠A+∠C
∠BDG=∠DEF+∠F
又∵ ∠B+∠BGC+∠BDG=180°
∴ ∠B+∠A+∠C+∠DEF+∠F=180°
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
延长CD交AB于点G.
G
巩固练习
E
3、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
360°
B
A
C
P
N
M
D
F
三角形的外角和等于360°.
对应练习
4、如图所示，点D，E，F分别是 △ABC 的边 BC，AC，AB 上的点，则 ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 这六个角的度数的和是 .
对应练习
5、如图，△ABC中，∠A=40°，
(1) 若点 P 是 ∠ABC 与 ∠ACB 平分线的交点，求 ∠P 的度数；
(2) 若点 P 是 ∠CBD 与 ∠BCE 平分线的交点，求 ∠P 的度数；
(3) 若点 P 是 ∠ABC 与 ∠ACF 平分线的交点，求 ∠P 的度数；
∠P=90°+ ∠A
1
2
∠P=90°- ∠A
1
2
∠P= ∠A
1
2
巩固练习
本节课你有什么收获？
三角形的外角
定义
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
性质
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
(三个顶点处各取一个)