24.3 正多边形与圆
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24.3 正多边形与圆
学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；
4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
学习过程：
一、情境创设：
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
二、探索活动：
活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念
概念： 叫做正多边形。
（注：各边相等与各角相等必须同时成立）
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系
1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；
2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三 探索正多边形的对称性
问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？
三、典型例题
例1 ．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
（ 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 ）
例2． 利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．
四、课堂练习
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5、P105 练习 1、2
五、课堂小结
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．
五、课堂作业：
见作业纸
课时作业纸
内容：正多边形与圆 班级 姓名 日期 月 日
一、填空题（每题3分，共30分）
1．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
2．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点（与点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是______．
3．如图，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l想右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm．
4．如图，⊙Ａ、⊙Ｂ、⊙Ｃ、⊙Ｄ相互外离，它们的半径都是，顺次连结四个圆心得到四边形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留）
5．中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为，半圆ACB固定，其半径为，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB内的轮片面积是不变的（如图乙），这个不变的面积值是___________．
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半园，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 ．
7．学生小颖自制一个无底圆锥形纸帽，圆锥底面圆的半径为，母线长为，那么
围成这个纸帽的面积（不计接缝）是_________（结果保留三个有效数字）．
8．图（1）、图（2）是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图．设图（1）、图（2）两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a、b（不记接头部分），则a、b的大小关系为：a________b（填“＜”、“＝”或“＞”）．
9．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是___________．
10．如图，⊙O1的半径O1A是⊙O2 的直径，⊙O1的半径Ｏ１Ｃ交⊙Ｏ２于点B，则和 的长度的大小关系是 ．
二、选择题（每题3分，共24分）
11．已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的（ ）
Ａ．2倍 Ｂ．3倍 Ｃ．4倍 Ｄ．5倍
13．如图，一块含有30o角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A’B’C’的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
14．如图，的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上），则这三条弧的长的和是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1 ＝S2 B．S1 ＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
16．将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是（ ）
17．如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．200° C．180° D．240°
18．如图，在半径为的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共46分）
19．（8分）右图的花环状图案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形.
（1）求证:∠1=∠2；
（2）找出一对全等的三角形并给予证明．
20．（10分）如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
21．（10分）如图1，分别表示边长为的等边三角形和正方形，表示直径为的圆．图2是选择基本图形用尺规画出的图案，．
（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）
（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话．
22．（8分）如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，是大半圆的弦关与小半圆相切，且．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．
23．（10分）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB =，高BC =，求这个零件的表面积．（结果保留）
作业纸参考答案
一、填空题
1．120 2． 3． 4． 5． 6．2：1 7．251 8．＝ 9． 10．相等
二、选择题
11．B 12．C 13．D 14．D 15．A 16．B 17．B 18．A
三、解答题
19．略 20．（1）120°；（2）90°，72°；（3） 21．（1）略；（2）参考举例：①运用圆的半径，可以作正方形的边上的中点，这对于作图很有利．②这三个图形关系很密切，能组合设计许多美丽的图案，来装饰我们的生活．③数学作图中要一丝不苟，否则产生的作图误差会影响图形的美观 22．能， 23．
学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；
4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。
学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。
学习过程：
一、情境创设：
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
二、探索活动：
活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念
概念： 叫做正多边形。
（注：各边相等与各角相等必须同时成立）
提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系
1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；
2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三 探索正多边形的对称性
问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正多边形的中心。
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？
思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形
问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。
思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？
三、典型例题
例1 ．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
（ 分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的 ）
例2． 利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．
四、课堂练习
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5、P105 练习 1、2
五、课堂小结
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．
五、课堂作业：
见作业纸
课时作业纸
内容：正多边形与圆 班级 姓名 日期 月 日
一、填空题（每题3分，共30分）
1．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
2．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点（与点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是______．
3．如图，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l想右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm．
4．如图，⊙Ａ、⊙Ｂ、⊙Ｃ、⊙Ｄ相互外离，它们的半径都是，顺次连结四个圆心得到四边形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留）
5．中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为，半圆ACB固定，其半径为，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆ACB内的轮片面积是不变的（如图乙），这个不变的面积值是___________．
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半园，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 ．
7．学生小颖自制一个无底圆锥形纸帽，圆锥底面圆的半径为，母线长为，那么
围成这个纸帽的面积（不计接缝）是_________（结果保留三个有效数字）．
8．图（1）、图（2）是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图．设图（1）、图（2）两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a、b（不记接头部分），则a、b的大小关系为：a________b（填“＜”、“＝”或“＞”）．
9．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是___________．
10．如图，⊙O1的半径O1A是⊙O2 的直径，⊙O1的半径Ｏ１Ｃ交⊙Ｏ２于点B，则和 的长度的大小关系是 ．
二、选择题（每题3分，共24分）
11．已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的（ ）
Ａ．2倍 Ｂ．3倍 Ｃ．4倍 Ｄ．5倍
13．如图，一块含有30o角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A’B’C’的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
14．如图，的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上），则这三条弧的长的和是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1 ＝S2 B．S1 ＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
16．将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是（ ）
17．如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥的侧面展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．200° C．180° D．240°
18．如图，在半径为的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第个内切圆，它的半径是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共46分）
19．（8分）右图的花环状图案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形.
（1）求证:∠1=∠2；
（2）找出一对全等的三角形并给予证明．
20．（10分）如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
21．（10分）如图1，分别表示边长为的等边三角形和正方形，表示直径为的圆．图2是选择基本图形用尺规画出的图案，．
（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）
（2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话．
22．（8分）如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，是大半圆的弦关与小半圆相切，且．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．
23．（10分）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB =，高BC =，求这个零件的表面积．（结果保留）
作业纸参考答案
一、填空题
1．120 2． 3． 4． 5． 6．2：1 7．251 8．＝ 9． 10．相等
二、选择题
11．B 12．C 13．D 14．D 15．A 16．B 17．B 18．A
三、解答题
19．略 20．（1）120°；（2）90°，72°；（3） 21．（1）略；（2）参考举例：①运用圆的半径，可以作正方形的边上的中点，这对于作图很有利．②这三个图形关系很密切，能组合设计许多美丽的图案，来装饰我们的生活．③数学作图中要一丝不苟，否则产生的作图误差会影响图形的美观 22．能， 23．
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