2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.1抛物线与x轴的交点坐标 同步练习
一、选择题
1．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故答案为：D．
【分析】将交点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
2．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：分为两种情况：
① 当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（ m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故答案为：D．
【分析】分两种情况讨论：当函数是二次函数时由△=0且m≠0；当函数是一次函数时，m=0，分别求出m的值即可。
3．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：D．
【分析】根据函数y=x2+ax+b与x轴的交点的横坐标就是方程x2+ax+b=0的解，观察图象即可求解。
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，
可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，
可得，m≥﹣2，
故答案为：A．
【分析】 观察图象，结合已知条件，可得出二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=m有交点，即可求出m的取值范围。
5．（2017·平邑模拟）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①④
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影= ×2×2=2；
③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；
④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；
②③的面积相等，
故选：A．
【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出阴影部分面积的大小关系．
6．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1
∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．
故答案为：A．
【分析】分别求出抛物线与x轴，y轴的交点情况，就可得出抛物线与坐标轴的交点个数。
7．（2017·潍坊模拟）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；等腰直角三角形；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A，令x=0，y=1，则C点的坐标为（0，1），正确；
B，令y=0，x=±1，则A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，正确；
C，由A、B、C三点坐标可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，则△ABC是等腰直角三角形，正确；
D，当x＞0时，y随x增大而减小，错误．
故选D．
【分析】判断各选项，点C的坐标可以令x=0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y=0，得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B；且AB的长也由两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．
8．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2013的值为（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得m2﹣m﹣1=0，
所以m2﹣m=1，
所以m2﹣m+2013=1+2013=2014．
故答案为：D．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
二、填空题
9．如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k=
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k=0，
∴k=1．
故答案为：1．
【分析】二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△＞0图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有且只有一个交点；利用此公式直接求出k的值即可
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
【分析】利用抛物线的对称轴及点P的坐标，求出抛物线与x轴的另一个交点是Q，再将x=-2代入函数解析式，就可得出 4a﹣2b+c 的值。
11．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），
∴PO=k，
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°= = ，
∴OB= k，
∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
0=（ k）2﹣k，
整理得： ﹣k=0，
解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．
故答案为：3．
【分析】先求出抛物线的顶点P的坐标，得出OP的长，再由 △ABP是正三角形，利用解直角三角形求出OB的值，就可得出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，就可求出k的值。
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 ．
【答案】8
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为（﹣2， 0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB=6﹣（﹣2）=8．
故答案为：8．
【分析】根据抛物线的对称性，由抛物线的对称轴及点A的坐标，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出AB的长。
13．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【分析】由已知的两点的纵坐标相等，可知这两点关于对称轴对称，因此将这两点的横坐标相加，用它们的和除以2，就可得出对称轴。
14．（2018九上·宁城期末）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ．
【答案】x1=0，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3
得 ，
解得 ，
代入ax2+bx=0
得，﹣x2+2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【分析】先将A,B两点的坐标分别代入抛物线的函数关系式，得出关于a,b的二元一次方程组，解方程组，求出a,b的值，再代入ax2+bx=0得出一个关于x的一元二次方程，求解得出方程的解。
三、解答题
15．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）解：∵如图，
二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x= =﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得
，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由点A、B关于抛物线的对称轴对称，就可求出对称轴，再由 点C、D是二次函数图象上的一对对称点， 求出点D的坐标。
（2）利用待定系数法，由点A、B、C三点坐标，就可求出函数解析式。
（3）观察函数图象，由点D、B的横坐标，即可得出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围。
16．已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【答案】（1）解：y=x2﹣4x+3
=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1，
所以顶点C的坐标是（2，﹣1），
当x≤2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）解：解方程x2﹣4x+3=0
得：x1=3，x2=1，
即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），
过C作CD⊥AB于D，
∵AB=2，CD=1，
∴S△ABC= AB×CD= ×2×1=1．
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，再写出点C的坐标，再利用二次函数的增减性，可解答。
（2）由y=0，解关于x的方程，求出方程的解，就可得出点A、B的坐标， 过C作CD⊥AB于D，再利用点的坐标求出AB、CD的长，然后利用三角形的面积公式可求解。
17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
【答案】（1）解：由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4）；
（2）解：∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴ =（ ）2=（ ）2= ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出c的值，就可得出函数解析式；再将函数解析式通过配方转化为顶点式，写出点M的坐标。
（2）由点的坐标求出M、BN的长，由已知易证EM∥BN，就可得出△EMF∽△BNF，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出结果。
18．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
【答案】解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】抓住已知条件：已知函数的图象与x轴只有一个公共点，因此分两种情况讨论：该函数是一次函数时，则二次项系数为0且一次项系数不为0，建立关于m的方程和不等式，求解即可；当此函数是二次函数时，二次项系数不为0且b2-4ac=0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
19．如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．
【答案】（1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y= x2+bx﹣2上，
∴b=﹣ ，
∴抛物线解析式y= x2﹣ x﹣2，
∵抛物线y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点D的坐标（ ，﹣ ）
（2）解：当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）
∴OC=2，
当y=0时，0= x2﹣ x﹣2，
解得：x=4或﹣1，
∴B（4，0），
∴OB=4，
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．
∴CM+AM的最小值是2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入函数解析式，求出b的值，得出函数解析式，再配方将函数解析式转化为顶点式，然后写出顶点D的坐标。
（2）由x=0求出y的值，得出点C的坐标，就可求出OC的长，再由y=0求出对应的自变量x的值，就可得出点A、B的坐标，求出OB的长，然后利用二次函数的对称性，可知点A和B是对称点，则CM+AM的最小值就是BC的长，利用勾股定理求出BC即可。
20．如图，二次函数y= x2﹣2x+c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M'．
（1）若A（﹣2，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM'的面积．
（3）当c=0时，试判断四边形AMBM'的形状，并请说明理由．
【答案】（1）解：∵A（﹣2，0）在二次函数y= x2﹣x+c的图象， ×（﹣2）2﹣（﹣2）+c=0，
解得c=﹣6，
∴二次函数的关系式为y= x2﹣2x﹣6
（2）解：∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，
∴顶点M的坐标为（2，﹣8），
∵A（﹣2，0），对称轴为x=2，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=6﹣（﹣2）=6+2=8，
∴S△ABM= ×8×8=32，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，
∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×32=64；
（3）解：四边形AMBM的形状是正方形，
理由如下：
∵c=0，
∴y= x2﹣2x，
∴A坐标（0，0），B坐标（4，0），
∴顶点M坐标为（2，﹣2），
∴AB=MM′
又∵AB和MM′互相平分且垂直，
∴四边形AMBM的形状是正方形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立关于c的方程，求解得出函数解析式。
（2）利用函数解析式求出点M的坐标，利用点A、B的坐标求出AB的长，再利用三角形的面积公式求出△ABM的面积，然后根据轴对称的性质，就可求出四边形AMBM的面积。
（3）由c=0求出点A、B及顶点M的坐标，易证AB=MM′，而AB和MM′互相平分且垂直，即可判断四边形AMBM的形状。
21．如图，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．[抛物线的顶点坐标：（﹣ ， ）]．
【答案】（1）解：∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
∴﹣9+2×3+m=0，
解得：m=3；
（2）解：∵二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=3或x=﹣1，
∴B（﹣1，0）；
（3）解：如图，连接BD、AD，过点D作DE⊥AB，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
若S△ABD=S△ABC，
∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），
则可得OC=DE=3，
∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴点D的坐标为（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式求出m的值。
（2）由y=0，解关于x的方程，求出方程的解，就可得出点B的坐标。
（3） 连接BD、AD，过点D作DE⊥AB，利用函数解析式求出点C的坐标，由S△ABD=S△ABC， 同底等高，因此根据二次函数的对称性，可知OC=DE，即可得出点D的坐标。
22．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x2﹣4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．
（1）求k的取值范围；
（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．
【答案】（1）解：依题意，（﹣4）2﹣4k＞0，
解不等式得，k＜4，
所以k的取值范围是k＜4
（2）解：依题意，C（0，k），
∴B（|k|，0），
∴|k|2﹣4|k|+k=0，
∴k＞0时，k2﹣3k=0，解得k=3；
k＜0时，k2+5k=0，解得k=﹣5．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由已知抛物线与x轴有两个不同的交点，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解即可。
（2）由函数解析式求出点C的坐标（0，k），再根据B在A的右边，表示出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，得出方程 |k|2﹣4|k|+k=0，再分k＞0和k＜0，分别求出方程的解，就可求出符合题意的k的值。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.1抛物线与x轴的交点坐标 同步练习
一、选择题
1．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
2．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
3．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（ ）
A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4
5．（2017·平邑模拟）下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ）
A．②③ B．③④ C．①② D．①④
6．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点
7．（2017·潍坊模拟）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大
8．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2013的值为（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
二、填空题
9．如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点，则k=
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
11．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是 ．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为 ．
13．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ．
14．（2018九上·宁城期末）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ．
三、解答题
15．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
16．已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNF的面积之比．
18．关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
19．如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．
20．如图，二次函数y= x2﹣2x+c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M'．
（1）若A（﹣2，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM'的面积．
（3）当c=0时，试判断四边形AMBM'的形状，并请说明理由．
21．如图，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．[抛物线的顶点坐标：（﹣ ， ）]．
22．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线y=x2﹣4x+k（k是常数）与x轴相交于A、B两点（B在A的右边），与y轴相交于C点．
（1）求k的取值范围；
（2）若△OBC是等腰直角三角形，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
解得 m2﹣m=1．
∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．
故答案为：D．
【分析】将交点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：分为两种情况：
① 当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（ m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故答案为：D．
【分析】分两种情况讨论：当函数是二次函数时由△=0且m≠0；当函数是一次函数时，m=0，分别求出m的值即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：如图，
∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：D．
【分析】根据函数y=x2+ax+b与x轴的交点的横坐标就是方程x2+ax+b=0的解，观察图象即可求解。
4．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，
可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，
可得，m≥﹣2，
故答案为：A．
【分析】 观察图象，结合已知条件，可得出二次函数y=ax2+bx+c的图象和直线y=m有交点，即可求出m的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；
②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影= ×2×2=2；
③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S= xy= ×4=2；
④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S= ×2×1=1；
②③的面积相等，
故选：A．
【分析】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出阴影部分面积的大小关系．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1
∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．
故答案为：A．
【分析】分别求出抛物线与x轴，y轴的交点情况，就可得出抛物线与坐标轴的交点个数。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；等腰直角三角形；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A，令x=0，y=1，则C点的坐标为（0，1），正确；
B，令y=0，x=±1，则A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，正确；
C，由A、B、C三点坐标可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，则△ABC是等腰直角三角形，正确；
D，当x＞0时，y随x增大而减小，错误．
故选D．
【分析】判断各选项，点C的坐标可以令x=0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y=0，得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B；且AB的长也由两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．
8．【答案】D
【知识点】代数式求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得m2﹣m﹣1=0，
所以m2﹣m=1，
所以m2﹣m+2013=1+2013=2014．
故答案为：D．
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，可得出m2﹣m=1，再整体代入求值。
9．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+k的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k=0，
∴k=1．
故答案为：1．
【分析】二次函数的图象与x轴交点个数取决于△，△＞0图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有且只有一个交点；利用此公式直接求出k的值即可
10．【答案】0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．
【分析】利用抛物线的对称轴及点P的坐标，求出抛物线与x轴的另一个交点是Q，再将x=-2代入函数解析式，就可得出 4a﹣2b+c 的值。
11．【答案】3
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线y=x2﹣k的顶点为P，
∴P点的坐标为：（0，﹣k），
∴PO=k，
∵抛物线y=x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，
∴OA=OB，∠OPB=30°，
∴tan30°= = ，
∴OB= k，
∴点B的坐标为：（ k，0），点B在抛物线y=x2﹣k上，
∴将B点代入y=x2﹣k，得：
0=（ k）2﹣k，
整理得： ﹣k=0，
解得：k1=0（不合题意舍去），k2=3．
故答案为：3．
【分析】先求出抛物线的顶点P的坐标，得出OP的长，再由 △ABP是正三角形，利用解直角三角形求出OB的值，就可得出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，就可求出k的值。
12．【答案】8
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为（﹣2， 0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB=6﹣（﹣2）=8．
故答案为：8．
【分析】根据抛物线的对称性，由抛物线的对称轴及点A的坐标，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出AB的长。
13．【答案】x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线x= =﹣1，即x=﹣1．
故答案是：x=﹣1．
【分析】由已知的两点的纵坐标相等，可知这两点关于对称轴对称，因此将这两点的横坐标相加，用它们的和除以2，就可得出对称轴。
14．【答案】x1=0，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3
得 ，
解得 ，
代入ax2+bx=0
得，﹣x2+2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【分析】先将A,B两点的坐标分别代入抛物线的函数关系式，得出关于a,b的二元一次方程组，解方程组，求出a,b的值，再代入ax2+bx=0得出一个关于x的一元二次方程，求解得出方程的解。
15．【答案】（1）解：∵如图，
二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x= =﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得
，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由点A、B关于抛物线的对称轴对称，就可求出对称轴，再由 点C、D是二次函数图象上的一对对称点， 求出点D的坐标。
（2）利用待定系数法，由点A、B、C三点坐标，就可求出函数解析式。
（3）观察函数图象，由点D、B的横坐标，即可得出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围。
16．【答案】（1）解：y=x2﹣4x+3
=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1，
所以顶点C的坐标是（2，﹣1），
当x≤2时，y随x的增大而减少；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
（2）解：解方程x2﹣4x+3=0
得：x1=3，x2=1，
即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），
过C作CD⊥AB于D，
∵AB=2，CD=1，
∴S△ABC= AB×CD= ×2×1=1．
【知识点】三角形的面积；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，再写出点C的坐标，再利用二次函数的增减性，可解答。
（2）由y=0，解关于x的方程，求出方程的解，就可得出点A、B的坐标， 过C作CD⊥AB于D，再利用点的坐标求出AB、CD的长，然后利用三角形的面积公式可求解。
17．【答案】（1）解：由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4）；
（2）解：∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴ =（ ）2=（ ）2= ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出c的值，就可得出函数解析式；再将函数解析式通过配方转化为顶点式，写出点M的坐标。
（2）由点的坐标求出M、BN的长，由已知易证EM∥BN，就可得出△EMF∽△BNF，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，就可求出结果。
18．【答案】解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；
②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则
△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，
解得 m=3，m=﹣1（舍去）．
综上所述，m的值是1或3．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】抓住已知条件：已知函数的图象与x轴只有一个公共点，因此分两种情况讨论：该函数是一次函数时，则二次项系数为0且一次项系数不为0，建立关于m的方程和不等式，求解即可；当此函数是二次函数时，二次项系数不为0且b2-4ac=0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
19．【答案】（1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y= x2+bx﹣2上，
∴b=﹣ ，
∴抛物线解析式y= x2﹣ x﹣2，
∵抛物线y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点D的坐标（ ，﹣ ）
（2）解：当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）
∴OC=2，
当y=0时，0= x2﹣ x﹣2，
解得：x=4或﹣1，
∴B（4，0），
∴OB=4，
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．
∴CM+AM的最小值是2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入函数解析式，求出b的值，得出函数解析式，再配方将函数解析式转化为顶点式，然后写出顶点D的坐标。
（2）由x=0求出y的值，得出点C的坐标，就可求出OC的长，再由y=0求出对应的自变量x的值，就可得出点A、B的坐标，求出OB的长，然后利用二次函数的对称性，可知点A和B是对称点，则CM+AM的最小值就是BC的长，利用勾股定理求出BC即可。
20．【答案】（1）解：∵A（﹣2，0）在二次函数y= x2﹣x+c的图象， ×（﹣2）2﹣（﹣2）+c=0，
解得c=﹣6，
∴二次函数的关系式为y= x2﹣2x﹣6
（2）解：∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，
∴顶点M的坐标为（2，﹣8），
∵A（﹣2，0），对称轴为x=2，
∴点B的坐标为（6，0），
∴AB=6﹣（﹣2）=6+2=8，
∴S△ABM= ×8×8=32，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，
∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×32=64；
（3）解：四边形AMBM的形状是正方形，
理由如下：
∵c=0，
∴y= x2﹣2x，
∴A坐标（0，0），B坐标（4，0），
∴顶点M坐标为（2，﹣2），
∴AB=MM′
又∵AB和MM′互相平分且垂直，
∴四边形AMBM的形状是正方形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立关于c的方程，求解得出函数解析式。
（2）利用函数解析式求出点M的坐标，利用点A、B的坐标求出AB的长，再利用三角形的面积公式求出△ABM的面积，然后根据轴对称的性质，就可求出四边形AMBM的面积。
（3）由c=0求出点A、B及顶点M的坐标，易证AB=MM′，而AB和MM′互相平分且垂直，即可判断四边形AMBM的形状。
21．【答案】（1）解：∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），
∴﹣9+2×3+m=0，
解得：m=3；
（2）解：∵二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=3或x=﹣1，
∴B（﹣1，0）；
（3）解：如图，连接BD、AD，过点D作DE⊥AB，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
若S△ABD=S△ABC，
∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），
则可得OC=DE=3，
∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴点D的坐标为（2，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式求出m的值。
（2）由y=0，解关于x的方程，求出方程的解，就可得出点B的坐标。
（3） 连接BD、AD，过点D作DE⊥AB，利用函数解析式求出点C的坐标，由S△ABD=S△ABC， 同底等高，因此根据二次函数的对称性，可知OC=DE，即可得出点D的坐标。
22．【答案】（1）解：依题意，（﹣4）2﹣4k＞0，
解不等式得，k＜4，
所以k的取值范围是k＜4
（2）解：依题意，C（0，k），
∴B（|k|，0），
∴|k|2﹣4|k|+k=0，
∴k＞0时，k2﹣3k=0，解得k=3；
k＜0时，k2+5k=0，解得k=﹣5．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由已知抛物线与x轴有两个不同的交点，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解即可。
（2）由函数解析式求出点C的坐标（0，k），再根据B在A的右边，表示出点B的坐标，然后将点B的坐标代入函数解析式，得出方程 |k|2﹣4|k|+k=0，再分k＞0和k＜0，分别求出方程的解，就可求出符合题意的k的值。
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