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含参数的一元二次不等式的解法
河南济源第一中学 数学组 马娟娟
教学目标：
1、知识目标：能对含有参数的一元二次（型）不等式进行分类讨论进行解答。
2、能力目标：a、在理解函数和不等式的关系时，有意识的培养学生通过直观的图象帮助解决抽象问题的能力，从而，提炼数形结合的数学思想、分类讨论的能力。
3、德育渗透目标：通过对本节课的学习，要求学生严谨、全面的分析事物，养成良好的学习和思维习惯。
重点和难点：
1、重点：通过对二次函数、二次方程、二次不等式的关系理解不等式的解集；特别是能规范的解答含有参数的不等式；进一步加强将数形结合、分类讨论等数学思想的渗透。
2、难点：对含有参数的一元二次不等式及相关问题的讨论。
教学过程：
一、复习引入：
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必需弄清楚，它的解集与哪些因素有关。一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c>0为例）常与以下因素有关（1）a；（2）Δ；（3）两根x1,x2的大小。其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏。下面举例说明：
二、例题讲解
分析 因为，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解
当时，解集为；当时，解集为
例2.解不等式
分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵
∴当即时，解集为；
当即Δ＝0时，解集为；
当或即,此时两根分别为，，显然,
∴不等式的解集为
例3.解不等式
分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解，所以本题只需讨论两根的大小即可。
解：
三、练习巩固
1. 解关于x的不等式
2.解关于x的不等式
四、课堂小结:
五、课后作业：
解不等式：mx2 -2x+1>0
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复
习
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
1)什么叫做一元二次方程？
2)什么叫做二次函数？
ax2+bx+c=0
y=ax2+bx+c
例如：x2+x-2>0、-x2+3≥0
探
究
1）二次方程x2+3x-4=0的根与二次函数y=x2+3x-4的零点的关系
二次方程有两个实根：
二次函数有两个零点：
x1=-4,x2=1
x1=-4,x2=1
即：二次方程的根就是二次函数的零点
二次方程
ax2+bx+c=0
的根
Δ
>0，方程有两个不相
等的根
=0，方程有一个根
（或两个相等的根）
<0， 方程无根
二次函数
y=ax2+bx+c
的图像与x轴
的交点
两个交点
一个交点
无交点
2）二次函数图象与二次不等式解的关系
⊿=0
o
x
y
⊿>0
o
x
y
⊿<0
o
x
y
1)y=x2+2x-3
2)y=x2+2x+1
3)y=x2-2x+2
若x2+2x-3>0
-3
1
-1
若x2+2x-3<0
若x2+2x+1>0
若x2+2x+1<0
则x<-3或x>1
则-3则x≠-1
则无解
若x2-2x+2>0
则x∈R
则无解
若x2-2x+2>0
判别式
△=b2- 4ac
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
x1
x2
x
y
O
y
x
O
Φ
Φ
R
没有实根
y
x
O
x1
一元二次不等式的解法
解含参一元二次不等式的一般步骤
1.讨论二次项系数的符号
2.判别△（能十字相乘法的不需判别）
3.由1；2两个步骤画出不等式所对应函数的大致图像
4.根据所画图像特征解不等式
分析：本题二次项系数含有参数,故需对二次项系数
进行分类讨论
解
0
②
①
③
解不等式
解：∵
∴
原不等式解集为
；
原不等式解集为
；
,
此时两根分别为
，
显然
,
∴原不等式的解集为：
例2.
例3 解关于x的不等式：
解
解 当a＝0时，原不等式等价于3＞0恒成立，所以x∈R.
当a＞0时，Δ＝(－2a)2－4a(a＋3)＝－12a＜0.不等式解集为R.
练习1. 解关于x的不等式
解:
即 时，原不等式的解集为：
（a）当
练习2.解关于 的不等式：
（1)当 时，原不等式的解集为：
（二）当 时,
（一）当 时, 原不等式即为
（2)当 时，有：
（b）当
（c）当
即 时，原不等式的解集为：
即 时，原不等式的解集为：
原不等式变形为：
其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定，故有：
综上所述，
(5)当 时，原不等式的解集为
(2)当 时，原不等式的解集为
(4)当 时，原不等式的解集为
(3)当 时，原不等式的解集为
(1)当 时，原不等式的解集为
一、按二次项系数是否含参数分类：
当二次项系数含参数时，按 项的系数 的符号分类，即分 三种情况．
二、按判别式 的符号分类，即分
三种情况
课堂小结
三、按对应方程 的根 的大小分类，即分 三种情况．
再 见
