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888天后是星期几？
数学组 张红艳
二项式定理
第一课时
研究(a＋b)n 的展开式
(a+b)4= .
1.在n=1, 2, 3时，写出并研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1= ,
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
2.那么n=4时呢？即：
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
都
不
取
b
取
一
个
b
取
两
个
b
取
三
个
b
取
四
个
b
项
系数
C4
0
C4
1
C4
2
C4
3
C4
4
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
【问题2】 (a+b)4展开有哪些项？各项的系数是什么？
结果：
发现规律：
(a+b)n=(a+b)(a+b)· ··· · (a+b)(a+b)
将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？
总结特征得到：
n个
这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b)n的________, 其中
叫做_________________, _________叫做二项展开式的通项,通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.
展开式
二项式系数
r+1
n+1
1. 二项式定理
1.二项式系数规律：
2.指数规律：
①各项的次数均为n；
②其中每一项中a的次数由n降到0,
b次数由0升到n.
3.项数规律：
二项式的n次幂的展开式共有n+1个项.
2. 二项式定理(公式)的特点
二项式定理：
(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-rbr＋…＋ C bn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C an-rbr ；其中 C 称为第r +1项的二项式系数。
例1：展开(x+2)5
定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子，只要是两项相加的n次幂，就能运用二项式定理展开。
二项式定理：
(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-rbr＋…＋ C bn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C an-rbr ；其中 C 称为第r+1项的二项式系数。
例2.(1)求(2a+3b)6展开式中的第3项；
(2)求(3b+2a)6展开式中的第3项。
解: (1)
解: (2)
评析：两个二项式展开后的结果相同，但展开式中第r项不同，所以对二项展开式中的a，b不要盲目交换。否则容易出错。
二项式定理：
(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-rbr＋…＋ C bn
通项公式（第r+1项）：
Tr+1＝C an-rbr ；其中 C 称为第r +1项的二项式系数。
例3、
例3、
（2）展开式的第3项系数是多少？
（3）展开式的第3项二项式系数是多少？
（1）展开式的第3项是多少？
888天后是星期几？
解:
（4）求展开式的常数项。
根据题意，
则常数项为
二项展开式的通项公式，其中含有a，b，n，r，T 五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个．如求特定项、特定项系数等。
例4：求 展开式中的倒数第4项，并指出该项的系数
小结
通项公式Tr+1＝C
an-rbr 是指第r＋1项，
r+1项的二项式系数。
其中 C 称为第
二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即 (a＋b)n＝ an＋ an－1b＋…＋ an－rbr＋…＋ bn，在实际运用时注意正确选择a、b。
n
C
r
注意正确区分二项式系数与项的系数。
作业：
习题1.5A组2、3、5登陆21世纪教育 助您教考全无忧
二项式定理（第一课时）
一、教学目标：
1．知识技能：
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理
2．过程与方法
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式
3．情感、态度、价值观
培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程
【提出问题】：今天星期一，问:天后是星期几？
研究问题：在n=1, 2, 3时，写出并研究的展开式.
思考：=
自主探究：课本23,24页（6分钟左右）（教师板演课题及教学提纲）
【探究问题】：
1)．展开后各项形式分别是什么？
2)．各项前的系数代表着什么？
各项前的系数 就是在4个括号中选几个取的方法种数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取的情况有1种，即,则前的系数为
恰有1个取的情况有种，则前的系数为
恰有2个取的情况有 种，则前的系数为
恰有3个取的情况有 种，则前的系数为
恰有4个取的情况有种，则前的系数为
则
学生类比猜想： （学生板演）
【新课新知】
二项式定理的内容：
右边的多项式叫做的二项展开式;：二项展开式的通项，记作;
为二项式系数
公式特征：
（1） 项数：共有项。
（2） 指数：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列， 指数和为n。
(3) 二项展开式的通项: 式中的叫做二项展开式的通项.用表示,即通项为展开式的第项: =
(4) 二项式系数:依次为这里称为二项式系数.
【实践应用】
例题1 ：展开？（解答略，让学生熟记公式）
例题2：(1)求(2a+3b)6展开式中的第3项；
(2)求(3b+2a)6展开式中的第3项。（让学生熟悉二项展开式的通项）
例题3：求二项式的展开式，回答下列问题：
（1）展开式的第3项是多少？
（2）展开式的第3项系数是多少？
（3）展开式的第3项二项式系数是多少？（区分二项式系数与项的系数）
简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展开的问题，强调技巧先化简再展开；求展开式中的指定项可以从展开式中去求，也可以从二项展开式的通项公式直接去求.
例题4 求的展开式的倒数第4项，并指出该项的系数（解答略）
分析：注意二项展开式中项的系数与二项式系数的区分并能用二项展开式的通项公式去求展开式中的指定项问题。
【解决问题】解决开头问题：
(被7除余数为1，答案：星期二)
【知识升华】
(1)二项式定理：
(2)二项展开式的通项公式：=
(3)应用：会用二项式定理对二项式进行正确展开；会求展开式中的指定项及指定项的二项式系数和系数。
(4)科学态度:养成善于观察、归纳、大胆猜想,利用从特殊到一般从而得出结论的学习态度。
作业：25页1,2,3,4
后记：
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“观摩课”作品信息表
河南 省 市（省辖市） 济源市 （县、区） 项目： 观摩课
作品名称 《二项式定理（1）》
学科 数学 教材版本 北师大版教材
学段 □小学组□初中组□高中组 知识点
年级 高二 册别 □上册□下册
作品内容 《二项式定理》选自新课程北师大版教材（选修2-3）第一章第五节：是《二项式定理》的第一个课时，教材中二项式定理是安排在计数原理排列组合后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，二项式定理这部分知识具有较高的应用价值和思维训练价值。本节重点是：掌握二项展开式的二项式系数，字母幂次的规律以及二项式通项.能够应用二项式定理对二项式进行展开，会用二项式通项求二项展开 式中的指定项。难点是：应用组合知识推导二项式定理的过程。
著作人 主讲人姓名 张红艳 在省资源网用户名
教学指导老师 王晓锋 录制人员 王晓锋
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