高中数学人教A版（2019）必修第一册5.4.3正切函数的性质与图像B（Word含答案）

2022年9月6日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．音叉由钢质或铝合金材料所制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（ ）
A．200 B．400 C． D．
2．的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设函数（其中）的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．若函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
8．下列函数中最小正周期不是的周期函数为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数的最小正周期为___________.
10．函数，的值域为______．
11．函数，的值域是______．
12．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.
四、解答题
13．函数（）的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）求在区间的最大值与最小值.
14．已知函数（，）图象的一条对称轴方程为，且相邻的两个零点间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）求方程在区间内的所有实数根之和.
15．设为常数，函数（）
（1）设，求函数的单调递增区间及频率；
（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．
16．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
(2)当时，函数的最小值为，求实数a的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D【分析】直接利用周期公式求出.
【详解】由题可得，，，即，则．
故选：D．
2．D【分析】由正切函数的对称中心，可令求即可.
【详解】由的对称中心为，
令，可得.
故选：D
3．C【分析】令可求得的范围，根据正切函数值域可求得定义域.
【详解】令，解得：，，
定义域为，.
故选：C.
4．C【分析】根据图象求得，从而求得的最小正周期.
【详解】由图象可知函数的最低点的纵坐标为-2，所以A=2，函数的图象与轴的交点的坐标为（0，1），所以，根据单调性可得：，所以.
又函数的图象与轴的正半轴的第一个交点的坐标为，所以，
则根据单调性可得，解得，
又，所以，所以的最小正周期为.
故选：C
5．C【分析】先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.
【详解】由题意，函数的最小正周期为，
可得，解得，即，
令，即，
当时，，即函数在上单调递增，
又由，
又由，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．A【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.
【详解】解：由题可知，函数，
则，
由于的最小正周期为，
，
，
又已知的图象关于轴对称，
，，则，
在区间上单调递增，
可以令，此时，
则函数，
所以在区间上，则，，
得，，所以，，
即的值域为，.
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数的单调性、周期、对称性和值域，还运用辅助角公式进行化简，考查化简运算能力.
7．AB【分析】根据图象可知，，，进而求出，结合三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图象可知，，即，
所以，又，
可得，即，
又因为，所以，所以，故A正确；
当时，，
满足正弦函数的对称轴，故B正确、C错误；
当时，则，函数不单调，故D错误.
故选：AB
8．AC【分析】根据函数的性质，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，为偶函数，当时，，为周期函数，周期为；当时，，为周期函数，周期为，但在整个定义域上，函数不具有周期性，故错误；
对于B选项，的图像是将图像在轴下方的翻到轴上方，进而函数为周期函数，周期是，故正确；
对于C选项，，故周期为，错误；
对于D选项，图像是将图像在轴下方的翻到轴上方，其周期性不变，故依然为，正确；
故选：AC
9．【解析】直接由正切函数的周期公式可得答案.
【详解】.
故答案为：.
10．【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
11．【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域.
【详解】，
故答案为：
12．##-0.25【分析】先根据函数在上单调递减及周期，确定，再根据函数的最大值求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，，则，
又因为函数在上的最大值为，
所以，即，
所以.
故答案为：
13．（1）（2）最大值为1，最小值为【解析】先用降幂公式将化为,再利用三角函数的和差公式化为,
根据图象可得最小正周期,利用求出即可.
（2）由,得出,即可求出,则得到最大最小值.
【详解】解：（1）
∴的最小正周期
∴
（2）∵∴
∴
∴求在区间的最大值为1,最小值为
【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.
14．（1）；（2）.【分析】（1）依题意可得，即可求出，再根据函数的对称轴求出，即可求出函数解析式；
（2）作出与的大致图象，根据函数的对称性计算可得；
【详解】（1）相邻的两个零点间的距离，
的最小正周期，
.
又函数图象的一条对称轴方程为，
，即，
而，.
故.
（2）因为的最小正周期为，所以在内恰有个周期.
令，解得，即函数的对称轴为，
因为，作出与的大致图象如图.
由图可知两个图象在内有个交点，横坐标依次为，，，，
且与关于对称，与关于对称，
所以，，
故所有实数根之和为
15．（1）增区间为，频率；（2）．【解析】（1）当时，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由函数为偶函数，得到对于任意的，均有成立，进而求得，即可求得函数的值域.
【详解】（1）当时，函数，
令，得，
所以此函数的单调递增区间为，
又由函数的的最小正周期为，所以．
（2）由题意，函数定义域，
因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，只有，
此时，因为，所以，
故此函数的值域为．
【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质（单调性、奇偶性、周期、对称轴（中心）最值等），结合整体代换的方法，列出方程求解；
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由图像求得解析式，再利用整体法求出单调区间，再赋值求交集即可求解；（2）换元法得的范围，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系求最小值求解a
(1)
∵点是线段DM的中点，
∴，．
∵函数，
∴．周期，解得．
∵，∴，
解得，又，∴．
∴．
令，解得，当时，，
∴函数在上的单调递增区间为．
(2)
∵，∴，
∴．
令，则，∴．
设，则函数图象的对称轴为直线．
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍去）；
当，即时，，
解得（舍去）．综上，．
答案第1页，共2页
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