高中数学人教A版（2019）必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换B（Word含答案）

2022年9月6日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
3．已知且则=（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
8．已知点A（2,0），圆，圆上的点P满足，则a的取值可能是（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
三、填空题
9．，，则______．
10．若，则α的一个可能角度值为__________.
11．已知函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②是以为最小正周期的周期函数；
③在上有个零点；
在区间上单调递增．
其中所有正确结论的编号是___________．
12．若，则__________，_________．
四、解答题
13．求证：是函数的周期.
14．已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
16．已知函数．
（Ⅰ）求的单调递增区间和最值；
（Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B【分析】直接利用两角和的正弦公式化简求解，即可判断三角形的形状．
【详解】由，
可得，
即，
可得，，
三角形是直角三角形．
故选：．
2．D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
3．D【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再由利用两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为，且，所以，因为，所以，所以，，
所以
因为，所以
故选：D
4．C【解析】先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解
【详解】由题意，故
故
又，
故
，
则
故选：C
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5．D【分析】利用二倍角公式化简，再结合的范围确定和的符号即可求解.
【详解】由二倍角公式可知，，，
从而，
又因为，所以，，
从而.
故选：D.
6．A【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.
【详解】是锐角，，，
，，且，
，，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.
7．AC【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可.
【详解】
所以，故A正确
令可得，满足的有，故B错误
的最小正周期为，故C正确
当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误
故选：AC
8．ABC【解析】设，则由可得，将选项中的数值代入验证即可.
【详解】解：因为圆，
设，
则，
整理得，
即，
当，等式不成立，
当时，，
则①，
将分别代入①得，均符合.
故选：ABC.
【点睛】本题考查三角代换的应用，考查三角函数的有界性，利用排除法可方便得出答案，是中档题.
9．##【分析】利用二倍角公式，结合的范围进行求值
【详解】因为，所以，又，所以，所以.
故答案为：
10．等答案较多【分析】先把化简成，解得后，解三角方程即可解决.
【详解】
则，故，或
故答案为：等均符合题意.
11．①②③【分析】化简函数的解析式为，利用余弦型函数的值域可判断①的正误；利用周期的定义可判断②的正误；在上解方程，可判断③的正误；利用余弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】因为.
对于①，，则，①正确；
对于②，，
作出函数的大致图象，如图所示．
由图可知，函数的最小正周期为，②正确；
对于③，当时，，
由，可得，可得，
分别令、、、，可得、、、，
所以，函数在在上有个零点，③正确；
对于④，当时，，则，
所以，函数在区间上不单调，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
12． 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
13．证明见解析【分析】根据辅助角公式化简可得，利用周期公式即可得证.
【详解】先化简，
所以周期，
所以是函数的周期.
14．（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．
【详解】（1）因为，
所以
又因为，
所以
所以
（2）因为，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．
15．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
16．（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值；
（Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出.
【详解】（Ⅰ）
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
易得的最大值为，最小值为；
（Ⅱ）函数在有且仅有两个零点，
函数，与有且仅有2个不同的交点，
由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减，
又，所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页