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专题17 圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 圆的基本概念
1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．以3cm为半径画圆，这样的圆有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．下列命题中，正确的有( )
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
5．下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二 求圆中弦的条数
6．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
8．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
考查题型三 圆的周长面积问题
9．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定
10．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长 L 的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
11．某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
12．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的( )
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
13．如图所示，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的长方形，则这个窗户的外框总长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（ ）
A． B． C． D．
15．半径为、的两个同心圆如图所示，已知半径为的圆周长为，且，则半径为的圆周长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
(2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ ；
(3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ ；
(4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
考查题型四 确定圆的条件
17．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
18．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
20．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．平行四边形 D．梯形
考查题型五 找圆心的位置
22．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
24．坐标网格中一段圆弧经过格点A、B、C．其中点B的坐标为(4，3)，点C坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
A．（0，0） B．（2，-1） C．（0，1） D．（2，1）
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专题17 圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 圆的基本概念
1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
正确的只有一个，
故选：A．
2．给出下列命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【详解】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①正确；
垂直于弦的直径平分这条弦，所以②正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确．
故选D．
3．以3cm为半径画圆，这样的圆有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【详解】以3cm为半径画圆，可以画无数个等圆，故选D．
4．下列命题中，正确的有( )
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
【详解】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；
B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误；
C，对称轴为直线，直径是线段，错误；
D，结合上述分析可知，此项正确．
故选D．
5．下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：①同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，圆心角相等半径不等根据弧长公式L=弧不等，故①错误；
②在同圆或等圆中相等的弦所对的劣弧相等或优弧相等，不同的圆中相等的弦对所对的弧还分优弧与劣弧，故②错误；
③长度相等的两条弧可能重合也可能不重合，能重合的是等弧，不能重合的不是等弧，故③错误；
④对称轴是沿某直线对折直线两旁的部分能重合，沿经过圆心的每一条直线对折，直线两旁的部分都能重合，所以经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故④正确；
⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形的三边距离相等，故⑤不正确．
正确的有1个．
故选择A．
考查题型二 求圆中弦的条数
6．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，故选：B．
7．如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条．故选B．
8．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B．
考查题型三 圆的周长面积问题
9．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（ ）
A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定
【详解】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ，
4个正三角形的周长和C2为：3a，
∵aπ＜3a，
∴C1＜C2
故选B．
10．如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长 L 的大小关系是（ ）
A．LA＞LB＞LC B．LA＜LB＜LC C．LB＞LC＞LA D．LC＜LA＜LB
【详解】解：设面积是 S．
则正方形的边长是，则周长ＬA=4==4；
长方形的一边长 x，则另一边长为，则周长ＬB=2（x+），
∵（x+）2≥0
∴x+≥2 ，
∴ＬB≥4，
即 LB≥；
圆的半径为，LC=2π×= ，
∵＜，
∴LC＜LA＜LB．
故选D．
11．某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d1,d2,d3,
∴d1+d2+d3=D
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2D；
图（2）中，需要D +d1+d2+d3=D +( d1+d2+d3)= 2D
故选：C．
12．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的( )
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【详解】由题意得π（）2÷[π（）2]=．故选B．
13．如图所示，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的长方形，则这个窗户的外框总长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意得，上半圆的直径为，
∴窗户的外框总长为，
故答案选A．
14．如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如下图所示，作辅助线，将下方阴影部分补到箭头所指位置，可得正方形的面积与阴影部分面积的比是．
故选D．
15．半径为、的两个同心圆如图所示，已知半径为的圆周长为，且，则半径为的圆周长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵半径为的圆周长为，
∴，
∴，
∵，
∴R=1+r=，
∴半径为的圆周长为=，
故选：D.
16．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
(2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ ；
(3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ ；
(4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【详解】
(2)l；
(3)l；
(4)l；；
每个小圆面积＝π＝，而大圆的面积＝π( a)2＝πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的．
考查题型四 确定圆的条件
17．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【详解】
经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C.
18．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【详解】
解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
19．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【详解】
解：第①块出现两条完整的弦，
作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
20．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
【详解】
∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，
∴AB+BC=AC，
∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．
故选D．
21．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A．正方形 B．菱形
C．平行四边形 D．梯形
【详解】
解：∵正方形对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴正方形四个顶点定可在同一个圆上.
故选A.
考查题型五 找圆心的位置
22．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）
【详解】
如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
23．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
【详解】
如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．故选A．
24．坐标网格中一段圆弧经过格点A、B、C．其中点B的坐标为(4，3)，点C坐标为(6，1)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
A．（0，0） B．（2，-1） C．（0，1） D．（2，1）
【详解】
如图，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，连接BC，线段AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线于Q，则Q为圆弧的圆心，
∴圆心的坐标是
故选B．
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