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专题18 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图，的直径为10，弦，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，此时AP=BP=4，
所以 ．
故选B．
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，
，
在中，，，
，
故选：A．
3．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16 cm C．24 cm D．26cm
【详解】解：过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∴CD=8，OD=13，
∴OC=OD-CD=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC==12，
∴AB=2BC=24．
故选C.
4．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【详解】解：连接OA，过点O作OM⊥AB，垂足为M
∵OM⊥AB，AB=12
∴AM=BM=6
在Rt△OAM中，OM=
所以8≤OM≤10
故选C．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴
故选C．
考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题
6．若⊙的半径为10 cm，且两平行弦，的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
【详解】①如图：作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，
∵OE⊥AC AC∥BD，
∴OF⊥BD，
∴AE=AC=6cm； BF=BD=8cm，
在Rt△AOE中
OE= = =8cm
同理可得：
OF=6cm
∴EF=OE-OF=8-6=2cm；
②如图：同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm.
综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm．
故选C．
7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m
【详解】如图
作OE⊥AB于点E，交CD于F
∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1
∴OE=0.8m
∵水管水面上升了0.2米，
∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m
∴m
∴CD=1.6m
故选C
8．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【详解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，
∵CD=10cm，，
∴，
∵圆的半径为13cm，
∴OD=13cm，
∴利用勾股定理可得：
，
同理可求OF=5cm，
∴EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；
第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样；
综上分析可知，两弦之间的距离为7cm或17cm，故D正确．
故选D．
9．如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,
10．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
考查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
11．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【详解】
如图，设AB与小圆切于点O，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC==3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
12．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【详解】
解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
13．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
14．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
【详解】
解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
考查题型四 垂径定理的实际应用
16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【详解】
连接，
∵，∴，
设，则，
在Rt中，，
∴．∴．
解得，∴⊙的直径为26寸．
17．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
【详解】
（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
18．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB，垂足为点D，连接OA．
∵AB=12，∴AD=AB=×12=6．
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，∴OD=8．
在Rt△AOD中，∵AD=6，OD=8，
∴．
答：⊙O的半径为10．
过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=8，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．
19．如图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
【详解】
解：如图，过点O作交AB于点C，连接OB，则.
是半径，，.
在中，设半径为xmm，
由勾股定理，得.
，解得.
该管道的直径是1000mm.
20．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
【详解】
利用垂径定理求出AD的长，再利用勾股定理建立方程即可求解.
解：如图所示，连接AO，
∵CD⊥AB且过圆心O，
∴AD=AB=×12=6米，
设半径为r米，
∴OA=OC=r米，
∴OD=CD﹣OC=（9﹣r）米，
∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=（9﹣r）2+62，
解得：r=6.5．
故⊙O的半径为6.5米．
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专题18 垂径定理
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用垂径定理求值
1．如图，的直径为10，弦，是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cm B．16 cm C．24 cm D．26cm
4．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题
6．若⊙的半径为10 cm，且两平行弦，的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（ ）
A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m
8．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
9．如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
考查题型三 利用垂径定理求同心圆问题
11．如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
3．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲 C．乙组 D．两组都可以
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
查题型四 垂径定理的实际应用
16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
图所示，是一个圆柱形输油管的横截面，如果油面宽，油面最大深度为100mm，求该管道的直径.
速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
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