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专题20 点和圆的位置关系
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 判断点和圆的位置关系
1．的半径为5，同一个平面内有一点P，且OP=7，则P与的位置关系是( )
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
【详解】解：因为，所以点P与圆O的位置关系是点在圆外，
故选：C
2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
3．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
4．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【详解】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
故选B.
5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【详解】解：∵OA=，
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
6．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），
∴d=5，
∵d=5﹥4，
∴点P在⊙O的外部，
故选：B．
7．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A．点 B．点 C．点 D．点
【详解】解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
8．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【详解】解：∵点A的坐标为（1，），
∴由勾股定理可得：OA=，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
考查题型二 利用点和圆的位置关系求半径
9．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＞8 C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞8
【详解】∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，
∴OB＜3，
∵点A所表示的实数为5，
∴2＜a＜8，
故选：C．
10．如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（ ）
A．3＜r＜ B．＜r＜ C．＜r＜ D．＜r＜3
【详解】解：给各点标上字母，如图所示．
∵AB＝，AC＝AD＝，AG＝3，AF＝，
AE＝
所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
这三个点只能为B、C、D点，
∴，
故选：D．
11．已知的半径为，点P在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点P在上，
∴的长等于圆的半径，即 ．
故选：C
12．平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（ ）
A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm
【详解】设⊙O的直径为，当点P在圆内时，
当点P在⊙O外时，
故选：C.
13．如图，在中，，，，以为圆心，长为半径的圆弧交于点．若、、三点中只有一点以为圆心的内，则的半径的取值范围是____．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，，
则AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
∵B、C、D三点中只有一点在⊙A内，
∴⊙A的半径r的取值范围是．
故答案是：．
14．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，则半径的取值范围是________．
【详解】解：如图，连接AC，
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
∴AC=5，
∵以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是：3＜r＜5．
故答案为3＜r＜5．
15．已知圆O的面积为，若点P在圆上，则______．
【详解】解：设的半径为，
的面积为，
，
解得，
点在圆上，
，
故答案是：5．
16．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
【详解】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
17．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
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【重难点突破】
考查题型一 判断点和圆的位置关系
1．的半径为5，同一个平面内有一点P，且OP=7，则P与的位置关系是( )
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
【详解】解：因为，所以点P与圆O的位置关系是点在圆外，
故选：C
2．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
3．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【详解】P点与O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在P点.
4．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（ ）
A．点D在⊙C上 B．点D在⊙C内
C．点D在⊙C外 D．不能确定
【详解】根据勾股定理，由△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB=10，然后根据直角三角形的的性质，斜边上的中线等于斜边长的一半，即CD=5＜AC=6，所以点D在在⊙C内.
故选B.
5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【详解】解：∵OA=，
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
6．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），
∴d=5，
∵d=5﹥4，
∴点P在⊙O的外部，
故选：B．
7．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )
A．点 B．点 C．点 D．点
【详解】解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
8．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【详解】解：∵点A的坐标为（1，），
∴由勾股定理可得：OA=，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
考查题型二 利用点和圆的位置关系求半径
9．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＞8 C．2＜a＜8 D．a＜2或a＞8
【详解】∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，
∴OB＜3，
∵点A所表示的实数为5，
∴2＜a＜8，
故选：C．
10．如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（ ）
A．3＜r＜ B．＜r＜ C．＜r＜ D．＜r＜3
【详解】解：给各点标上字母，如图所示．
∵AB＝，AC＝AD＝，AG＝3，AF＝，
AE＝
所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
这三个点只能为B、C、D点，
∴，
故选：D．
11．已知的半径为，点P在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵点P在上，
∴的长等于圆的半径，即 ．
故选：C
12．平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（ ）
A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm
【详解】设⊙O的直径为，当点P在圆内时，
当点P在⊙O外时，
故选：C.
13．如图，在中，，，，以为圆心，长为半径的圆弧交于点．若、、三点中只有一点以为圆心的内，则的半径的取值范围是____．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，，
则AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
∵B、C、D三点中只有一点在⊙A内，
∴⊙A的半径r的取值范围是．
故答案是：．
14．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，使得点在圆内，点在圆外，则半径的取值范围是________．
【详解】解：如图，连接AC，
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
∴AC=5，
∵以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，
∴半径r的取值范围是：3＜r＜5．
故答案为3＜r＜5．
15．已知圆O的面积为，若点P在圆上，则______．
【详解】解：设的半径为，
的面积为，
，
解得，
点在圆上，
，
故答案是：5．
16．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
【详解】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
17．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
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