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专题21 直线与圆的位置关系
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 判断直线与圆的位置关系
1．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
3．已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．已知⊙O的面积为，若点0到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围
6．已知：点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞1 B．r＞2 C．2＜r＜2 D．1＜r＜5
7．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（ ）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8
8．如图，∠AOB=30°，P为OA上的一点，且OP=5cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为( )
A．5cm B．cm C．cm D．cm
9．如图，在Rt中，，，，点在边上,,⊙的半径长为3，⊙与⊙相交，且点在⊙外，那么⊙的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在⊙O中，弦AB＝10，PA＝6㎝，OP＝5㎝，则⊙O的半径R等于（ ）
A．7㎝ B．㎝ C．49㎝ D．㎝
考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
11．若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
12．若⊙O1与⊙O2相交，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，则⊙O2的半径r2不可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
13．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
14．已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
考查题型四 切线的判定定理
16．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
17．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
18．如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
19．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
20．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
考查题型五 切线的性质定理
21．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．65° C．50° D．75°
22．如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)．与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)．则圆心 M 到坐标原点O 的距离是 ( )
A．10； B．8； C．4； D．2；
23．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
24．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，分别与相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
考查题型六 应用切线长定理求解
26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
27．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
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专题21 直线与圆的位置关系
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 判断直线与圆的位置关系
1．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或5
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选：D．
3．已知⊙的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离.则直线与⊙的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【详解】∵的解为x=4或x=-1，
∴r=4，
∵4＜6，即r＜d，
∴直线和⊙O的位置关系是相离.
故选A.
4．已知⊙O的面积为，若点0到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【详解】∵设⊙O 半径为r，则
∴r=2
∵
∴直线和圆相离，
故选C．
5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
【详解】解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围
6．已知：点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L的距离均为2，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞1 B．r＞2 C．2＜r＜2 D．1＜r＜5
【详解】根据题意可知,若使圆上有且只有两点到直线l的距离均为2
则当圆与直线l外离时,r＞1;
当圆与直线相交时,r＜5;
∴ 1＜r＜5，故选D
7．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（ ）
A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8
【详解】解：由题意可知，线段AB必须经过圆C才有两个交点，过点C作AB的垂线，
因为AC＝6，BC＝8，通过等面积法计算得出垂线段为，
当r<，AB与圆C没有交点，当r>6时与AB最多只有一个交点，所以.
8．如图，∠AOB=30°，P为OA上的一点，且OP=5cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为( )
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【详解】解答：
作PD⊥OB于D.
∵在直角三角形POD中,∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5cm，
∴PD=2.5(cm).
要使直线和圆相切，则r=2.5cm.
故答案为C.
9．如图，在Rt中，，，，点在边上,,⊙的半径长为3，⊙与⊙相交，且点在⊙外，那么⊙的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接AD，
∵AC=4，CD=3，∠C=90°，
∴AD=5，
∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，
∴r＞5-3=2，
∵BC=7，
∴BD=4，
∵点B在⊙D外，
∴r＜4，
∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，
故选B．
10．如图，在⊙O中，弦AB＝10，PA＝6㎝，OP＝5㎝，则⊙O的半径R等于（ ）
A．7㎝ B．㎝ C．49㎝ D．㎝
【详解】将OP向两方延长,
设OC=xcm,则CP=(x+5)cm,PD=(x-5)cm
根据相交弦定理,AP BP=CP DP,即
6×4=(x+5)(x-5)
解得 =49,x=7或x=-7(负值舍去),
则⊙O的半径等于7cm
故选A
考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
11．若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【详解】解：∵直线与半径为的⊙O相交，
∴圆心到直线的距离d∴满足条件的只有A选项，
故选：A．
12．若⊙O1与⊙O2相交，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，则⊙O2的半径r2不可能是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【详解】∵⊙O1与⊙O2相交，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，
∴5-2＜r2＜5+2，
即3＜r2＜7，
故选D.
13．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点，
∴⊙O与直线l相离．
∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∵⊙O直径为10cm，
∴⊙O半径为5cm，
∴圆心O到直线l的距离大于5cm．
故选：A．
14．已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，
∴d＞r，
∴直线与圆相离，
∴这条直线与圆没有公共点，
∴这条直线可以是 l2．
故选：B．
15．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【详解】解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC-PC=2，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2，
∵OA=OB，∠APB=90°，
∴AB=2OP，
当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4，
故选：B．
考查题型四 切线的判定定理
16．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆
【详解】
解：于，
以为圆心，为半径的圆与直线相切，
故选：D．
17．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【详解】
连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∴∠OAC=∠ODC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，
∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°．
故选D．
18．如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是直径 D．且
【详解】
解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切；
C. AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
D. 当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切.
故选D.
19．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【详解】
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
20．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【详解】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
考查题型五 切线的性质定理
21．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝20°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．65° C．50° D．75°
【详解】连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∠COD=2∠A=40°，
∴∠C=90°－40°=50°，
故选C．
22．如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)．与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)．则圆心 M 到坐标原点O 的距离是 ( )
A．10； B．8； C．4； D．2；
【详解】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
已知⊙M与x轴相切于点A（8，0），可得AM⊥OA，OA=8，
即可得∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
所以四边形OAMH是矩形，
根据矩形的性质可得AM=OH，
因MH⊥BC，
由垂径定理得HC=HB=6，
所以OH=AM=10，
在RT△AOM中，由勾股定理可求得OM==2．
故答案选D．
23．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【详解】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
24．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则
过点A作于D，设，则
由勾股定理得：
则，即
解得，即
又
即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．
25．如图，分别与相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
【详解】解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
考查题型六 应用切线长定理求解
26．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【详解】
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选C．
27．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】
解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
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