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专题23 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
2．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵，
∴∠BOC=2∠BDC=100°，
∵，
∴∠BOC=∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.
故选B.
3．如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠A=100°，
故选：B．
4．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（ ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
【详解】∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°．
∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．
如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则．
∵∠C与∠D是圆内接四边形的对角，∴∠C=180°﹣∠D =112.5°．故选D．
5．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故选B．
考查题型二 求正多边形的中心角
6．如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由图可知：该齿轮是正八边形，
360°÷8=45°．
故选C．
7．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
8．如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．
9．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点O是正六边形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴点D的坐标为（2，0），
故选B．
10．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（ ）
A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm
【详解】如图所示：
可得MN＝BC＝20cm，
△OWM是等边三角形，边长为10cm，
则它的高为：＝5（cm），
故FG＝20+4×5＝（20+20）cm．
故选：C．
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．中心角为60°的正多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【详解】解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是60°，
∴这个正多边形的边数==6．
故选择：B．
12．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【详解】如图：连接OB，OC，OA，
为圆内接正三角形
四边形ACDF为圆内接正方形
若以BC为边的圆内接正边形，则有
故选：C．
13．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC D．∠BAC＝30°
【详解】在△QAB即，OA＝OB，OA＝AB，∴△OAB为等边之扇形，∴∠AOB＝60°，
∴弦AB的长等于园内接正方形的边长，故A对；
∵OC⊥AB，△OAB为等边之扇形，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴AC的长为园内接正十二边形的边长，故B对；
∵∠AOC=∠BOC，∴ 弧AC ＝ 弧BC， 故C对；
∵∠BAC＝ ∠BOC＝ ×30°＝150°，故D错；
故选D.
14．一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【详解】设圆内接正n边形的中心角的度数为
由弧长公式得：
解得
即圆内接正n边形的中心角的度数为
则
故选：B．
15．已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵一个正多边形的中心角为45°，
∴这个正多边形的边数为8，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有△ABC，△ACF，△ACG共3个，
故选：C．
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
【详解】连接OA、OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB=BC=DC=AD，
∴，
∴∠AOB=×360°=90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，
解得：AO=2，
∴的长为=π，
故选A．
18．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．
19．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵正六边形的边长为a，
∴⊙O的半径为a，
∴⊙O的面积为π×a2=πa2，
∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，
∴每个三角形面积为×a×a×sin60°=a2，
∴正六边形面积为6×a2=a2，
∴阴影面积为（πa2﹣a2）×=（﹣）a2，
故选B．
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专题23 四边形与圆
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 已知圆内接四边形求角度
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
2．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
3．如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
4．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（ ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5°
5．如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 求正多边形的中心角
6．如图有一齿轮，相邻两齿之间间隔相等，如果让这个齿轮绕中心旋转，要与原图形重合，至少要旋转（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
9．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（ ）
A．（20+10）cm B．（30+10）cm C．（20+20）cm D．40cm
考查题型三 已知正多边形的中心角求边数
11．中心角为60°的正多边形的边数是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
12．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
13．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC D．∠BAC＝30°
14．一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考查题型四 正多边形与圆
16．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（ ）
A．π B．π C．2π D．π
18．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
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