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专题13 计算弧长与扇形面积
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧长公式进行计算
1．一个扇形的半径为8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
【详解】设扇形的圆心角为n°，
根据题意得
，
解得n=120，
所以扇形的圆心角为120°．
故选B．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接BO，CO，如图所示：
因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，
所以可得圆心角∠BOC=90°，
所以的长==，
故选B．
3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】OA=OC+AC=12+4=16(m)，的长为： （m）,故选C .
4．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】∵圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=×2π×5，解得r=3．
故选A．
5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
【详解】如图：
BC=AB=AC=1，
∠BCB′=120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×．
故选B．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π C．2π D．π
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
7．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】连接OA、OC，如图．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠D＝＝108°．
∵AE、CD与⊙O相切，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
∴劣弧AC的长为．
故选D．
8．如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：，
故选：C．
考查题型二 计算扇形的面积
9．如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【详解】解：是的直径，弦，
，，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点D为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意：
∴
∴
∴
故选：A
11．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-S△ABD=
=．
故选B．
12．如图，，，，，相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
故选A．
13．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，连接，
是等边三角形，
所以则图中摆盘的面积
故选B．
14．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，连接OC
∵，，
∴四边形ODCE是矩形
∵点C是的中点
∴
∴
∴
∴四边形ODCE是正方形
∴
∴
∴
即
由扇形的面积公式可得：
∴
故选：B
15．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【详解】解：由题意可得，
阴影部分的面积是： π×22﹣﹣2（1×1﹣ π×12）＝π﹣2，
故选：B．
16．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，∵CF=BF，
∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，
易证△CEF≌△BOF，
∴S阴=S扇形OBF==，
故选D．
考查题型三 与圆锥有关的计算
17．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【详解】
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
18．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
【详解】
解：由题意可得：圆锥的底面半径为5，母线长为：，
该圆锥的侧面积为：π×5×13=65π．
故选B．
19．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
【详解】
解：如下图：
连接BC，AO，
∵，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴ ，
∴的长度为：，
∴围成的底面圆周长为，
设圆锥的底面圆的半径为，
则：，
∴．
故选：
20．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．10 B．20 C．10π D．20π
【详解】
设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
解得r=10.
故圆锥的底面半径为10.
故选A.
21．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
【详解】
解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
22．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
【详解】
设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π 5，
解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为：5cm．
故选A．
23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
【详解】
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长，
圆锥的底面周长为：，
设圆心角的度数为n，
则，
解得：，
故圆心角度数为：，
故选：C．
24．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【详解】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，
设圆心角的度数是n度，
则=2π，
解得：n=120．
故选：C．
25．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2
C．米2 D．米2
【详解】
解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，
∴圆锥的母线长=米，
∴圆锥的侧面积=，
圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，
即，
故需要的毛毡：米，
故选：A．
26．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：∵圆锥的底面直径为48cm,则半径为=24，又∵圆锥的高为10cm,∴圆锥的母线长为： ，圆锥的底面周长(扇形的弧长)为:2r=48,
∴该圆锥的侧面积=×48π×26=624π，
故选C．
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专题13 计算弧长与扇形面积
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用弧长公式进行计算
1．一个扇形的半径为8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为5cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2 B．π C．2π D．π
7．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 计算扇形的面积
9．如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框（面积记为）变形为以点D为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，，，，相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
13．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
16．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
考查题型三 与圆锥有关的计算
17．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
18．若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．60π B．65π C．78π D．120π
19．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．1
20．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．10 B．20 C．10π D．20π
21．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A． B． C． D．
22．圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm
23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214° B．215° C．216° D．217°
24．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
25．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2
C．米2 D．米2
26．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
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