人教版数学 九年级下册27.3位似 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
27.3 位似
第27章 相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
位似图形的定义
位似图形的性质
位似图形的画法
平面直角坐标系中的位似
知识点
位似图形的定义
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义：如果一个图形上的点A，B，…，P，…和另一个图形上的点A′，B′，…，P′，…分别对应，并且它们的连线AA′，BB′，…，PP′，…都经过同一点O，
…，那么这两个图形叫做位似图形，点O 是位似中心.
知1－讲
感悟新知
2. 位似与相似的关系：
(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点.
(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此, 位似是相似的特殊情况.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
●两个位似图形的位似中心有且只有一个.
●位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处.
感悟新知
知1－练
判断如图27.3-1 所示的各图中的两个图形是不是位似
图形，如果是，请指出其位似中心.
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断.
解：(1)是位似图形，位似中心为点A；
(2)不是位似图形；
(3)是位似图形，位似中心为点O.
感悟新知
知1－练
1-1. 为了增强视力保护意识，小红要在书房挂一张视力表，如图是视力表的一部分， 图中的类似“E”的图形均是相似图形，下面不是位似图形的是( )
A. ①和④
B. ②和③
C. ①和②
D. ②和④
B
知识点
位似图形的性质
知2－讲
感悟新知
2
位似图形具有的性质：
(1)位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心.
(2)位似图形任意一组对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.
知2－讲
感悟新知
(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)，且对应线段之比相等.
(4)若两个图形位似，则这两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
知2－讲
感悟新知
特别解读
利用位似图形的性质可解决：
1. 多边形的放大或缩小；
2. 确定位似中心；
3. 求周长或面积.
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知2－练
找出如图27.3-2 所示的位似图形的位似中心.
例2
解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心”进行查找.
知2－讲
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解：如图27.3-3，点P1，P2，P3 即为所求的位似中心.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
D
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知2－练
如图27.3-4，△ ABC 与△ A′B′C′关于点O 位似，
AO=3，A′O=6.
(1)若AC=5，求A′C′的长；
(2)若△ ABC 的面积为7，
求△ A′B′C′的面积.
解题秘方：紧扣位似图形相似比的性质进行计算.
例 3
知2－讲
感悟新知
解：(1)因为△ ABC 与△ A ′B ′C ′是位似图形，
AO ∶ A′O=3 ∶ 6=1 ∶ 2，
所以△ ABC ∽△ A′B′C′，且相似比为 ，
所以 即
所以A′C′=10.
知2－讲
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(2)根据题意，得
即
所以S△ A′B′C′=7×4=28.
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知2－练
3-2.[ 中考·重庆] 如图，△ ABC与△ DEF位似，点O 为位似中心，相似比为2 ∶ 3． 若△ ABC的周长为4，则△ DEF的周长是( )
A.4 B.6
C.9 D.16
C
知识点
位似图形的画法
知3－讲
感悟新知
3
画位似图形的步骤：
特别提醒
以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.
知3－讲
感悟新知
(1)确定位似中心(位似中心可以在图形外部，也可以在图形内部，还可以在图形的边上或在某一个顶点处)；
(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；
(3)根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置；
(4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
注意：画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形
与新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比.
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知3－练
[开放题] 如图27.3-5，已知四边形ABCD，将四边形
ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2 ∶ 1.
例4
解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图(画法不唯一).
感悟新知
知3－练
解：(画法不唯一)根据位似中心的不同位
置情况进行作图.
画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图27.3-6，以点A 为位似中心，四边形AB1C1D1 就是所求作的图形.
感悟新知
知3－练
画法二：位似中心在四边形的边上，如图27.3-7，以
AD 边上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1 就是所求作的图形.
感悟新知
知3－练
4-1. 如图， 在由边长为1 的小正方形组成的网格图中， 已知点O 及△ ABC 的顶点均为网格线的交点.
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知3－练
(1)将△ ABC 绕着点B顺时针旋转90°，得到△ A1BC1，请在网格图中画出△ A1BC1.
解：如图所示，△A1BC1即为所求．
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知3－练
(2)以点O 为位似中心， 将△ ABC 放大为原图形的3 倍， 得到△ A′B′C′，请在网格图中画出△ A′B′C′.
解：如图，△A′B′C′即为所求．
知识点
平面直角坐标系中的位似
知4－讲
感悟新知
4
1. 位似变换时对应点的坐标的变化规律：
特别提醒
●在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似图形与原图形的相似比为k，那么当位似图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y) 对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)；当位似图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y) 对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky).
●当k>1 时，图形扩大为原来的k 倍；当0知4－讲
感悟新知
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky).
知4－讲
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2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换.
(2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转或位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：
知4－讲
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①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数；
③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数；
知4－讲
感悟新知
④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于变换后的图形与变换前的图形的相似比.
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知4－练
如图27.3-8，已知O 是坐标原点，B，C 两点的坐标
分别为(3，－1)，(2，1).
例 5
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(1)画出以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将△ OBC 放大为原来的2 倍(即新图与原图的相似比为2)的位似图形△ OB′C′；
(2)分别写出B，C 两点的对应点B′，C′的坐标；
(3)如果△ OBC 内部一点M 的坐标为(x，y)，试写出点M 的对应点M′的坐标.
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知4－练
解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换时对应点的坐标的变化规律求对应点的坐标.
方法点拨：位似变换作图的思路有两种: 一种是先求出变换后对应点的坐标，再描点画图；另一种是先根据对应边的比画出位似变换后的图形，再确定对应点的坐标.
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解：(1)如图27.3-9，延长BO 到点B′，使OB′=2OB；延长CO 到点C′，使OC′=2OC，连接B′C′，则△ OB′C′就是要画的图形.
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知4－练
(2)点B′，C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2).
(3)点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x， －2y).
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5-1. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ ABC 的三个顶点均在格点( 网格线的交点)上. 以原点O 为位似中心，
画△ A1B1C1， 使它与△ ABC 的
相似比为2，则点B 的对应点B1
的坐标是( )
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【答案】D
课堂小结
位似
位似图形
定义
性质
画法
坐标规律