人教版数学九下28.2.1解直角三角形 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
28.2 解直角三角形及其应用
第28章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
解直角三角形的定义
直角三角形中的边角关系
知识点
解直角三角形的定义
知1－讲
感悟新知
1
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
知1－讲
感悟新知
特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
(2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
深度理解
●已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.
●已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解.
感悟新知
知1－练
根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；
④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.
A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
例 1
C
感悟新知
知1－练
解：①③④⑤能够求解；②不能求解.
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.
特别提醒：解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：1. 尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；2. 尽量选择便于计算的关系式；3. 能用乘法计算的要避免使用除法计算.
感悟新知
知1－练
1-1. 如图，△ ABC 中，AB=AC， BC=1 0 ，∠ B=36°，D 为BC 的中点， 则AD 的长是( )
A.5sin36°
B.5cos36°
C.5tan36°
D.10tan36°
C
知识点
直角三角形中的边角关系
知2－讲
感悟新知
2
1. 直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠ C外的五个元素之间有如下关系：
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B=90°
知2－讲
感悟新知
(3)边角之间的关系：
知2－讲
感悟新知
2. 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：
(1)两锐角之间的关系：∠ A=90°－∠ B，∠ B=90° －∠ A；
(2)三边之间的关系：
(3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B.
知2－讲
感悟新知
活学巧记
口诀记忆法
有斜求对乘正弦，
有斜求邻乘余弦，
无斜求对乘正切.
知2－讲
感悟新知
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推.
感悟新知
知2－练
根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=20，c=20 ；
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=2 ，b=2.
例2
解题秘方：紧扣直角三角形的边角关系求解.
知2－讲
感悟新知
解：(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，
则sin A=
∴∠ A=45°，∴∠ B=90°－∠ A=45°，∴ b=a=20.
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，
∵ a=2 ，b=2，∴ c=
∵ tan A= ∴∠ A=60°，
∴∠ B=90°－∠ A=90°－60°=30°.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图， 在Rt △ABC 中， ∠ C=90 °，AC=2 ，BC=6， 解这个直角三角形.
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，b=12；
解题秘方：紧扣以下两种思路去求解
求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.
例 3
感悟新知
知2－练
解法提醒：
解直角三角形选择关系式常遵循的原则：
当已知或求解中有斜边时，优先考虑用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，优先考虑用乘法；在解题过程中，既可以用原始数据又可以用解题过程中得到的数据时，优先考虑用原始数据.
感悟新知
知2－练
解：在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，
∴∠ B=90°－∠ A=60°.
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知2－练
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6.
解题秘方：求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数.
感悟新知
知2－练
解法提醒：
解直角三角形选择关系式常遵循的原则：
当已知或求解中有斜边时，优先考虑用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，优先考虑用乘法；在解题过程中，既可以用原始数据又可以用解题过程中得到的数据时，优先考虑用原始数据.
感悟新知
知2－练
解：在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90°－∠ A=30°.
感悟新知
知2－练
3-1. 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)c=30，b=20；
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知2－练
(2)∠ B=72°，c=14；
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知2－练
(3)∠ B=30°，a= .
感悟新知
知2－练
如图28.2-1，在△ ABC 中，AB=1，AC= ，sin B=
，求BC 的长.
例4
解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.
知2－讲
感悟新知
教你一招：构造直角三角形解非直角三角形问题的方法
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角. 在作垂线时，要充分利用已知条件， 一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解.
知2－讲
感悟新知
解：如图28.2-1 所示，过点A 作AE ⊥ BC，垂足为点E.
在Rt △ ABE 中，∵ sin B= ，AB=1，
∴ AE= ，∴ EB=
在Rt △ ACE 中，AC=
∴ CE= .
∴ BC=BE+CE=
感悟新知
知2－练
4-1. 在△ ABC 中，∠ B=45°，∠ C=60°，BC 边上的高AD=3，则BC 的长为( )
A.3+3
B.3+
C.2+
D. 3 +
B
感悟新知
知2－练
4-2. 如图，在△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=45°，AC=6，则△ ABC 的周长为______________ .
课堂小结
解直角三角形
三边关系
边角关系
解直
角三
角形
定义
条件
两锐角关系
依据