人教版数学九下28.2.2应用举例 课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
28.2 解直角三角形及其应用
第28章 锐角三角函数
28.2.2 应用举例
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
解直角三角形在实际中的应用
解直角三角形在解仰角和俯角中的应用
解直角三角形在解方向角中的应用
解直角三角形解坡角、坡度的应用
知识点
解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
感悟新知
1
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；
(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
知1－讲
感悟新知
2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：
知1－讲
感悟新知
图形 关系式
AC=BC·tanα，
AG=AC+BE
AB=DE=AE·tanβ ，
CD=CE+DE=
AE·(tanα +tanβ )
BC=BD+DC=
AD·
知1－讲
感悟新知
图形 关系式
BC=DC－BD=
AD·(tanα －tanβ )
BD=BCDC=AC· ，AG=AC+CG=AC+BE
BC=BE+EF+CF=BE+AD+CF=AD+h·
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.
2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.
知1－讲
感悟新知
3. 问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.
感悟新知
知1－练
如图28.2-12 所示，某居民楼Ⅰ高20 m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距离CM 为2 m，窗户CD 高1.8 m. 现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ 30 m 处新建一居民楼Ⅱ . 当正午时刻太阳光线
与地面成30°角时，要使楼Ⅱ的影
子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新
建楼Ⅱ最高只能建多少米？
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：将实际应用问题建模成解直角三角形问题.
解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼Ⅰ一楼的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高EG=x m，如图28.2-12 所示，
感悟新知
知1－练
过点C 作CF ⊥ EG 于点F，则FG=CM=2 m.
在Rt△ ECF中，EF = (x－2) m ， FC = 30m ，
∠ ECF=30°，
∴ tan 30°= ，∴ x=10 +2.
答：新建楼Ⅱ最高只能建(10 +2)m.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考· 十堰]如图， 小明利用一个锐角是30 ° 的三角尺测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15 m，AB 为1.5 m( 即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( )
D
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知1－练
某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经过某一隧道，如图28.2-13，已知隧道口分别为D，E. 为了如期完工，需测量出DE 的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C，测得BC=200 m，∠ABC=105°，∠ C=45°，AD=18 m，BE=32 m，且A，D，E，
B 在同一条直线上，已知该工程限定时
间为10 天，该工程队平均每天至少需要
施工多少米？
例2
感悟新知
知1－练
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形问题.
解：如图28.2-13 所示，过点B 作BF ⊥ AC 于点F.
∵∠ ABC=105°，∠ C=45°，
∴∠ A=30°，△ BFC 为等腰直角三角形.
感悟新知
知1－练
在Rt △ BFC 中，∵ cos C= ，
∴ BF=FC=BC·cos C=200× =100 (m).
在Rt △ AFB 中，∵∠ A=30°，∴ AB=2BF=200 m.
又∵ AD=18 m，BE=32 m，
∴ DE=AB－AD－BE=200 －18 －32 =150 (m).
∵ 150 ÷10=15 (m)，
∴该工程队平均每天至少需要施工15 m.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A 的距离， 可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C， 测得PC=100 米，∠ PCA=35°，则小河宽PA 等于( )
A.100sin35°米
B.100sin55°米
C.100tan35°米
D.100tan55°米
C
知识点
解直角三角形在解仰角和俯角中的应用
知2－讲
感悟新知
2
1. 仰角和俯角的定义：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
特别提醒
●仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.
●当实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
知2－讲
感悟新知
2. 示图(如图28.2-14)：
感悟新知
知2－练
如图28.2-15，在数学活动课中，小敏为了测量校园
内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，
观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，
然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗
杆底端D 的俯角是30°，已知教学
楼AB 高4 米.
例 3
感悟新知
知2－练
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD 的高度.
解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.
知2－讲
感悟新知
解：(1)∵在教学楼上的B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30° .
在Rt △ ABD 中，
∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 米，
∴教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 米.
知2－讲
感悟新知
(2)在Rt △ ACD 中，
∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°，AD=4 米，
∴ CD=AD·tan60° =4 × =12(米).
∴旗杆CD 的高度是12 米.
感悟新知
知2－练
3-1. [中考.宿迁]某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.
已知教学楼AB的高度为20 m，求信号
塔的高度(计算结 果保留根号) .
感悟新知
知2－练
解：如图，过点A作AE⊥CD ，垂足为E，
由题意得AB= DE=20 m，
在Rt△ADE中，∠EAD=30,
∴
感悟新知
知2－练
在Rt△AEC中， ∠CAE=45°，
CE=AE · tan 45°=20 ×1 =20 (m),
∴CD=CE＋DE= (20 +20 )m，
即信号塔的高度为(20 +20 )m.
知识点
解直角三角形在解方向角中的应用
知3－讲
感悟新知
3
1. 方向角的定义：
指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.
特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90° .
知3－讲
感悟新知
2. 示图：
如图28.2-16 所示， 目标方向线OA，OB，OC 的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
2. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换.
感悟新知
知3－练
为了维护海洋权益，国家海洋局加大了在南海的巡逻
力度，一天，我国两艘海警船刚好在我国某岛东西海岸线上的A，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域，如图28.2-17 所示，AB=60( + )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C
在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上
有一灯塔D，测得AD=120( – )海里.
例4
感悟新知
知3－练
(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离；(结果保留根号)
(2)已知在灯塔D 周围100 海里范围内有暗礁群，在A 处的海警船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45)
解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解.
感悟新知
知3－练
解：(1)如图28.2-17，过点C 作CE ⊥ AB 于点E，可得
∠ ACE=30°，∠ BCE=45°，设AE=x 海里，
在Rt △ ACE 中，CE= x 海里，AC=2x 海里，
在Rt △ BCE 中，BE=CE= x 海里，BC= x 海里.
∵ AB=AE+BE，∴ x+ 3 x=60( + )，
解得x=60 . ∴ AC=120 海里，BC=120 海里.
感悟新知
知3－练
(2)如图28.2-17， 过点D 作DF ⊥ AC 于点F， 可得
∠ DAF=60° .
在Rt △ AFD 中，∵ DF=DA·sin60° = DA，
∴DF= ×120( － )=60(3 － )≈ 106.8(海
里)>100 海里.
∴途中无触礁的危险.
感悟新知
知3－练
4-1.[中考.安徽]如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°
方向上.求A，B两点间的距离.(参考
数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75)
感悟新知
知3－练
解：如图，∵CE∥AD，
∴∠A=∠ECA=37°，
∴∠CBD=∠A＋∠ADB=
37°＋53°=90°，
∴∠CBD°=90°，
感悟新知
知3－练
在Rt△BCD中，∠BDC=90°－53°=37°，
CD=90米，cos∠BDC= ，
∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米)，
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD ≈72(米)，
答：A、B两点间的距离约为96米.
知识点
解直角三角形解坡角、坡度的应用
知4－讲
感悟新知
4
1. 坡角与坡度(坡比)的定义：
特别提醒
1. 坡度是两条线段的比值，不是度数.
2. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.
知4－讲
感悟新知
(1)坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图28.2-18 中的α .
(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)(如图28.2-18 所示)，坡度(坡比)也可写成i = h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式.
知4－讲
感悟新知
2. 坡度与坡角的关系：
=tanα ，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.
感悟新知
知4－练
如图28.2-19，李明在大楼30 m 高(即PH=30 m)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60° . 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ ，点P，H，B，C，A 在同一个平面内，
点H，B，C 在同一条直线上，
且PH ⊥ HC.
例 5
感悟新知
知4－练
(1)山坡坡角的度数等于 ______°；
(2)求A，B 两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据：
≈ 1.732).
解题秘方：将分散的条件集中到△ ABP 中求解.
30
∵山坡坡角为∠ ABC，
坡度i=1 ∶ ，
∴ tan ∠ ABC=
∴∠ ABC=30° .
感悟新知
知4－练
解：由题意，得∠ PBH=60°，
∠ APB=60° －15° =45° .
∵∠ ABC=30°，∴∠ ABP=90° .
∴∠ BAP=45°，∴ PB=AB.
在Rt △ PHB 中，
∴ AB=PB=20 ≈ 34.6m.
∴ A，B 两点间的距离约为34.6 m.
感悟新知
知4－练
5-1. [中考· 益阳]沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD， 高DH=12 米，斜坡CD 的坡度i=1 ∶ 1. 此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD 表示高压线上的点与堤面AD 的最近距离(P，D，H 在同一直线上)，在点C 处测得∠ DCP=26° .
感悟新知
知4－练
(1)求斜坡CD 的坡角α ；
感悟新知
知4－练
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD 的安全距离不低于18 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈ 0.49，sin 71 ° ≈ 0.95，tan71°≈ 2.90)
感悟新知
知4－练
课堂小结
应用举例
仰角和俯角问题
坡角和坡度问题
解直角三角形的应用类型
方向角问题
一般步骤
一般测量问题