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人教A版（2019） 必修一 3.2 函数基本性质 ——单调性与最值
一、单选题
1．（2020高一下·鸡西期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·郁南月考）函数y= +b在(0，+∞)上是减函数，则（ ）.
A．k> B．k< C．k> - D．k< -
3．（2019高一上·河南月考）在区间 上，下列函数与函数 的单调性相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·浙江期中）已知函数 的图象关于 对称，且对 ，当 时， 成立，若 对任意的 恒成立，则 的范围（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一上·友好期中） ，若 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·鄞州期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A．（－∞，－3），（1，＋∞） B．（－∞，－2），（2，＋∞）
C．（－3，0），（3，＋∞） D．（－2，0），（0，2）
7．（2019高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·嘉兴期中）若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 （ ）
A．与 无关，但与 有关 B．与 无关，且与 无关
C．与 有关，但与 无关 D．与 有关，且与 有关
9．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 无最大值，最小值
10．（2019高一上·唐山期中）下列函数中，在 上为单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019高一上·新津月考）已知函数 是定义在 上的单调递增函数，且 .则m的取值范围是 .
12．（2019高一上·长沙期中）函数 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是 .
13．（2019高一上·柳江期中）已知函数 在 上是增函数，若 ，则 的取值范围是 .
14．（2019高一上·嘉兴期中）设函数 ，则 ，使得 的实数 的取值范围是 ．
15．（2019高一上·唐山期中）已知 为定义在区间 上的增函数， ， , ，则 取值范围为
三、解答题
16．（2020高一上·拉萨期末）已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
17．（2019高一上·沈阳月考）已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ．
（1）求 的值；
（2）解不等式 .
18．（2019高一上·河南月考）定义在非零实数集上的函数 对任意非零实数x，y都满足 .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）设函数 ，求 在区间 上的最大值 .
19．（2019高一上·台州期中）已知函数 满足 （ 为常数），且 ＝3．
（1）求实数 的值，并求出函数 的解析式；
（2）当 时，讨论函数 的单调性，并用定义证明你的结论．
20．（2019高一上·柳江期中）已知函数 ， .
（1）求 、 的单调区间；
（2）求 、 的最小值.
21．（2019高一上·温州期中）已知函数 .
（1）求函数 的解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明 在 上单调递减.
22．（2019高一上·厦门期中）已知二次函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ， ， .
（1）求 的解析式；
（2）记函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，若 ，当 时，求 的最大值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 ，解得 或 ，所以函数的定义域为
可看作是由 ， 复合而成的，
的单调递增区间为 ，
在 上单调递减，
由复合函数的单调性的判定知， 函数 的单调递减区间为
故答案为：A
【分析】 可看作是由 ， 复合而成的，因为 单调递增，由复合函数的单调性的判定知识只需在定义域内求出 的增区间即可。
2．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】因为函数y= +b在(0，+∞)上是减函数
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】解不等式 即得解.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】 在区间 上为减函数，函数 在区间 上为增函数，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函数 在区间 上为增函数，函数 在区间 上为减函数.
故答案为：D.
【分析】分析函数 在区间 上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间 上的单调性，可得出正确选项.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】 函数 的图象关于 对称，
向左平移1个单位，得到 的图象关于 轴对称，
即 是偶函数，
， 成立，
在 上递减， 在 上递增，
对任意的 恒成立，
等价于 对任意的 恒成立， 时不等式成立；
当 时，有 恒成立，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数 是偶函数，根据 时， 成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为 对任意的 恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，则 ，画出函数图象，如图：
函数为增函数， ， ， ，故函数为奇函数， ，
即 ，因为函数在 上单调递增，所以
故答案为：D
【分析】先去绝对值，求出函数 分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 ，当且仅当 时，即 时，在对应位置函数增减性发生变化，如图：
故函数对应的单调增区间为：（－∞，－3），（1，＋∞）
故答案为：A
【分析】可借鉴对勾函数性质辅助解题，将函数拼凑为 ，再根据对勾函数增减性特征解题即可
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】（1）当 时， ，任取 ，
则 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
所以 ；
⑵当 时， 单调递减，所以 ；
而 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】根据函数单调性，分别求出 和 时的最大值，比较大小，即可得出结果.
8．【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为 ， ，
令 ，由题意 的最大值是 ，最小值是 ，
而 是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故 与 无关，而 是影响图象的左右平移，故 与 有关.
故答案为：A
【分析】先将函数化为 ，令 ，根据题意，得到 的最大值是 ，最小值是 ，根据二次函数各系数的意义，即可得出结果.
9．【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为函数 ，所以 在 上单调递减，则 在 处取得最大值，最大值为 ， 取不到函数值，即最小值取不到.
故答案为：A.
【分析】先化简函数 ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
10．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A选项：函数 的斜率 ，故此函数在 上为单调递减函数，A排除；
对于B选项：函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 ，故此函数在 上为单调递增函数，在 为单调递减函数，B排除；
对于C选项：函数 为反比例函数，其图象是双曲线，在 和 上均是单调递减函数，C排除；
对于D选项：函数 为幂函数，其图象在 上是一条上升的曲线，故此函数在 上为单调递增函数，
故答案为：D.
【分析】结合函数的图象及性质和单调递增函数的定义进行逐项排除即可.
11．【答案】m＜-4
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意，函数 是定义在 上的单调递增函数，对于任意 ，若 ，则 ，又因为 ，所以 ，
解得
故答案为：
【分析】由题意可知， 是定义在 上的单调递增函数，则对于任意 ，若 ，则 。
12．【答案】[-1,4]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由于二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
由题意可知，函数 在区间 上为增函数，则 ，得 .
且有 ，解得 ，所以， ，
因此，实数 的取值范围是[-1,4]，故答案为：[-1,4].
【分析】由题意得出函数 在区间 上为增函数，且有 在 处的取值大于等于函数 在 处的取值，由此列出不等式组解出实数 的取值范围.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 在R上是增函数， ，根据增函数性质，可得 ，解得
答案为：
【分析】根据增函数性质去“ ”即可.
14．【答案】4；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ；
当 时， 可化为 ，即 显然恒成立，所以 ；
当 时， ，解得 ；
综上， .
故答案为：4；
【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可求出 ；分 和 两种情况，结合函数解析式，即可求出实数 的取值范围.
15．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题知,
,
令 ,
则有 ,
所以有 ，
因为 在 上单调递增, ，
所以 满足的不等式为
,
解得 ,
所以所求 的取值范围为 .
故答案为:
【分析】由题知,利用 可得, , ;由 在 上单调性，列出不等式求解即可.
16．【答案】（1）解：图象如图所示：
（2）解：由函数 的图象可知，该函数的定义域为 ，
增区间为 ，减区间为 、 、 ，值域为
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据函数 的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数 的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.
17．【答案】（1）解：令 ，则 ， .
（2）解：由 ，都有 知 为 上的减函数，且 ，即 .
∵ ， 且 ，
∴ 可化为 ，即
＝ ，
则 ，解得 .
∴不等式 的解集为 ．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】（1）根据 ，令 ，即可得出 的值；（2）由 ，都有 知 为 上的减函数，根据 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出 的范围即可.
18．【答案】（1）解：令 ， ，得 ；
令 ， ，得 .
由 ，解得
（2）解：令 ，则 ，所以 ，
由以上两式，解得 ，
即 ，所以
（3）解： .
当 ，即 时，此时，函数 在区间 上单调递增，
；
当 ，即 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 .
综上，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数的值
【解析】【分析】（1）分别令 ， 和 ， ，可得出关于 和 的方程组，即可解出 的值；（2）令 ，则 ，再用 替换 可得出 ，利用加减消元法可解出 ，即可得出函数 的解析式；（3）由题意得出 ，然后分 和 ，分析二次函数 在区间 上的单调性，即可得出函数 在区间 上的最大值 的表达式.
19．【答案】（1）解：∵ ＝3，∴ ，
∴ ，
∴
易得：
∴ ；
（2）解： 函数在（0， ）上递减，在（ ，+∞）上递增；
设0＜x1＜x2 ，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1 ）﹣（2x2 ） ，
又由0＜x1＜x2 ，
则2x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0， ）为减函数，
设 x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1 ）﹣（2x2 ） ，
又由 x1＜x2，
则2x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（ ，+∞）上递增．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）由 ＝3得到 ，利用方程组思想得到函数 的解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性.
20．【答案】（1）解： 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，函数 的增区间为 ；
（2）解：由（1）知，函数 在 处取得最小值 ，
由于函数 在定义域 上单调递增，则函数 在 处取得最小值 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）分析二次函数 图象的开口方向和对称轴，可得出函数 的减区间和增区间，以及函数 的增区间；（2）由函数 和函数 的单调性可得出这两个函数的最小值.
21．【答案】（1）解： ，
；
（2）解：证明： ， ，且 ，则：
，
， ， ， ，
又由 ，得 ，
于是 ，
即 ， ，
函数 在 上单调递减．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）可得出 ，从而得出 ；（2）根据单调性的定义，设任意的 ， ，并且 ，然后作差，通分，提取公因式，从而得出 ，然后说明 即可．
22．【答案】（1）解：对一切实数 ，都有 成立，则二次函数 的对称轴为直线 ，又 ，则二次函数 图象的顶点坐标为 ，
设 ，则 ，因此，
（2）解： ，对称轴为直线 ， ，则 .
当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，
则 ， ，则 ，得 ，此时 ；
当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以， ， ， ，且 ， ，
则 ，整理得 ，解得 ，此时， .
因此， ，则实数 的最大值为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）由题意可得出二次函数 的对称轴为直线 ，结合 可得出该二次函数的顶点坐标为 ，可设 ，再由 求出实数 的值，由此可得出函数 的解析式；（2）求出函数 的解析式 ，分析该二次函数图象的对称轴与区间 的位置关系，分析函数 在区间 上的单调性，求出 和 ，然后解不等式 ，求出实数 的取值范围，即可得出实数 的最大值
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人教A版（2019） 必修一 3.2 函数基本性质 ——单调性与最值
一、单选题
1．（2020高一下·鸡西期中）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 ，解得 或 ，所以函数的定义域为
可看作是由 ， 复合而成的，
的单调递增区间为 ，
在 上单调递减，
由复合函数的单调性的判定知， 函数 的单调递减区间为
故答案为：A
【分析】 可看作是由 ， 复合而成的，因为 单调递增，由复合函数的单调性的判定知识只需在定义域内求出 的增区间即可。
2．（2019高一上·郁南月考）函数y= +b在(0，+∞)上是减函数，则（ ）.
A．k> B．k< C．k> - D．k< -
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】因为函数y= +b在(0，+∞)上是减函数
所以 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】解不等式 即得解.
3．（2019高一上·河南月考）在区间 上，下列函数与函数 的单调性相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】 在区间 上为减函数，函数 在区间 上为增函数，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函数 在区间 上为增函数，函数 在区间 上为减函数.
故答案为：D.
【分析】分析函数 在区间 上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间 上的单调性，可得出正确选项.
4．（2019高一上·浙江期中）已知函数 的图象关于 对称，且对 ，当 时， 成立，若 对任意的 恒成立，则 的范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】 函数 的图象关于 对称，
向左平移1个单位，得到 的图象关于 轴对称，
即 是偶函数，
， 成立，
在 上递减， 在 上递增，
对任意的 恒成立，
等价于 对任意的 恒成立， 时不等式成立；
当 时，有 恒成立，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数 是偶函数，根据 时， 成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为 对任意的 恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可.
5．（2019高一上·友好期中） ，若 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，则 ，画出函数图象，如图：
函数为增函数， ， ， ，故函数为奇函数， ，
即 ，因为函数在 上单调递增，所以
故答案为：D
【分析】先去绝对值，求出函数 分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可.
6．（2019高一上·鄞州期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A．（－∞，－3），（1，＋∞） B．（－∞，－2），（2，＋∞）
C．（－3，0），（3，＋∞） D．（－2，0），（0，2）
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】 ，当且仅当 时，即 时，在对应位置函数增减性发生变化，如图：
故函数对应的单调增区间为：（－∞，－3），（1，＋∞）
故答案为：A
【分析】可借鉴对勾函数性质辅助解题，将函数拼凑为 ，再根据对勾函数增减性特征解题即可
7．（2019高一上·嘉兴期中）已知函数 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】（1）当 时， ，任取 ，
则 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
所以 ；
⑵当 时， 单调递减，所以 ；
而 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】根据函数单调性，分别求出 和 时的最大值，比较大小，即可得出结果.
8．（2019高一上·嘉兴期中）若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 （ ）
A．与 无关，但与 有关 B．与 无关，且与 无关
C．与 有关，但与 无关 D．与 有关，且与 有关
【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为 ， ，
令 ，由题意 的最大值是 ，最小值是 ，
而 是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故 与 无关，而 是影响图象的左右平移，故 与 有关.
故答案为：A
【分析】先将函数化为 ，令 ，根据题意，得到 的最大值是 ，最小值是 ，根据二次函数各系数的意义，即可得出结果.
9．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 无最大值，最小值
【答案】A
【知识点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】因为函数 ，所以 在 上单调递减，则 在 处取得最大值，最大值为 ， 取不到函数值，即最小值取不到.
故答案为：A.
【分析】先化简函数 ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
10．（2019高一上·唐山期中）下列函数中，在 上为单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】对于A选项：函数 的斜率 ，故此函数在 上为单调递减函数，A排除；
对于B选项：函数 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 ，故此函数在 上为单调递增函数，在 为单调递减函数，B排除；
对于C选项：函数 为反比例函数，其图象是双曲线，在 和 上均是单调递减函数，C排除；
对于D选项：函数 为幂函数，其图象在 上是一条上升的曲线，故此函数在 上为单调递增函数，
故答案为：D.
【分析】结合函数的图象及性质和单调递增函数的定义进行逐项排除即可.
二、填空题
11．（2019高一上·新津月考）已知函数 是定义在 上的单调递增函数，且 .则m的取值范围是 .
【答案】m＜-4
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意，函数 是定义在 上的单调递增函数，对于任意 ，若 ，则 ，又因为 ，所以 ，
解得
故答案为：
【分析】由题意可知， 是定义在 上的单调递增函数，则对于任意 ，若 ，则 。
12．（2019高一上·长沙期中）函数 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】[-1,4]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由于二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
由题意可知，函数 在区间 上为增函数，则 ，得 .
且有 ，解得 ，所以， ，
因此，实数 的取值范围是[-1,4]，故答案为：[-1,4].
【分析】由题意得出函数 在区间 上为增函数，且有 在 处的取值大于等于函数 在 处的取值，由此列出不等式组解出实数 的取值范围.
13．（2019高一上·柳江期中）已知函数 在 上是增函数，若 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】 在R上是增函数， ，根据增函数性质，可得 ，解得
答案为：
【分析】根据增函数性质去“ ”即可.
14．（2019高一上·嘉兴期中）设函数 ，则 ，使得 的实数 的取值范围是 ．
【答案】4；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ；
当 时， 可化为 ，即 显然恒成立，所以 ；
当 时， ，解得 ；
综上， .
故答案为：4；
【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可求出 ；分 和 两种情况，结合函数解析式，即可求出实数 的取值范围.
15．（2019高一上·唐山期中）已知 为定义在区间 上的增函数， ， , ，则 取值范围为
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由题知,
,
令 ,
则有 ,
所以有 ，
因为 在 上单调递增, ，
所以 满足的不等式为
,
解得 ,
所以所求 的取值范围为 .
故答案为:
【分析】由题知,利用 可得, , ;由 在 上单调性，列出不等式求解即可.
三、解答题
16．（2020高一上·拉萨期末）已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
【答案】（1）解：图象如图所示：
（2）解：由函数 的图象可知，该函数的定义域为 ，
增区间为 ，减区间为 、 、 ，值域为
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据函数 的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数 的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.
17．（2019高一上·沈阳月考）已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ．
（1）求 的值；
（2）解不等式 .
【答案】（1）解：令 ，则 ， .
（2）解：由 ，都有 知 为 上的减函数，且 ，即 .
∵ ， 且 ，
∴ 可化为 ，即
＝ ，
则 ，解得 .
∴不等式 的解集为 ．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】（1）根据 ，令 ，即可得出 的值；（2）由 ，都有 知 为 上的减函数，根据 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出 的范围即可.
18．（2019高一上·河南月考）定义在非零实数集上的函数 对任意非零实数x，y都满足 .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）设函数 ，求 在区间 上的最大值 .
【答案】（1）解：令 ， ，得 ；
令 ， ，得 .
由 ，解得
（2）解：令 ，则 ，所以 ，
由以上两式，解得 ，
即 ，所以
（3）解： .
当 ，即 时，此时，函数 在区间 上单调递增，
；
当 ，即 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 .
综上，
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；函数的值
【解析】【分析】（1）分别令 ， 和 ， ，可得出关于 和 的方程组，即可解出 的值；（2）令 ，则 ，再用 替换 可得出 ，利用加减消元法可解出 ，即可得出函数 的解析式；（3）由题意得出 ，然后分 和 ，分析二次函数 在区间 上的单调性，即可得出函数 在区间 上的最大值 的表达式.
19．（2019高一上·台州期中）已知函数 满足 （ 为常数），且 ＝3．
（1）求实数 的值，并求出函数 的解析式；
（2）当 时，讨论函数 的单调性，并用定义证明你的结论．
【答案】（1）解：∵ ＝3，∴ ，
∴ ，
∴
易得：
∴ ；
（2）解： 函数在（0， ）上递减，在（ ，+∞）上递增；
设0＜x1＜x2 ，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1 ）﹣（2x2 ） ，
又由0＜x1＜x2 ，
则2x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0， ）为减函数，
设 x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1 ）﹣（2x2 ） ，
又由 x1＜x2，
则2x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（ ，+∞）上递增．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）由 ＝3得到 ，利用方程组思想得到函数 的解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性.
20．（2019高一上·柳江期中）已知函数 ， .
（1）求 、 的单调区间；
（2）求 、 的最小值.
【答案】（1）解： 函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，函数 的增区间为 ；
（2）解：由（1）知，函数 在 处取得最小值 ，
由于函数 在定义域 上单调递增，则函数 在 处取得最小值 .
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）分析二次函数 图象的开口方向和对称轴，可得出函数 的减区间和增区间，以及函数 的增区间；（2）由函数 和函数 的单调性可得出这两个函数的最小值.
21．（2019高一上·温州期中）已知函数 .
（1）求函数 的解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明 在 上单调递减.
【答案】（1）解： ，
；
（2）解：证明： ， ，且 ，则：
，
， ， ， ，
又由 ，得 ，
于是 ，
即 ， ，
函数 在 上单调递减．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）可得出 ，从而得出 ；（2）根据单调性的定义，设任意的 ， ，并且 ，然后作差，通分，提取公因式，从而得出 ，然后说明 即可．
22．（2019高一上·厦门期中）已知二次函数 对一切实数 ，都有 成立，且 ， ， .
（1）求 的解析式；
（2）记函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，若 ，当 时，求 的最大值.
【答案】（1）解：对一切实数 ，都有 成立，则二次函数 的对称轴为直线 ，又 ，则二次函数 图象的顶点坐标为 ，
设 ，则 ，因此，
（2）解： ，对称轴为直线 ， ，则 .
当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，
则 ， ，则 ，得 ，此时 ；
当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以， ， ， ，且 ， ，
则 ，整理得 ，解得 ，此时， .
因此， ，则实数 的最大值为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义
【解析】【分析】（1）由题意可得出二次函数 的对称轴为直线 ，结合 可得出该二次函数的顶点坐标为 ，可设 ，再由 求出实数 的值，由此可得出函数 的解析式；（2）求出函数 的解析式 ，分析该二次函数图象的对称轴与区间 的位置关系，分析函数 在区间 上的单调性，求出 和 ，然后解不等式 ，求出实数 的取值范围，即可得出实数 的最大值
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