2022-2023学年人教版九年级数学上册22.1二次函数的图象与性质 同步达标测试题 （word版 含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
2．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2平移得到，正确的平移方法是（　　）
A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度
C．先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
3．函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
5．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
6．把函数y＝x2﹣2x+3的图象绕原点旋转180°得到新函数的图象，则新函数的表达式是（　　）
A．y＝x2+2x+3 B．y＝﹣x2+2x﹣3 C．y＝﹣x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
7．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b．其中正确的选项是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④ D．②③④
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1　 　a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
10．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线解析式 　 　．
11．将抛物线y＝3x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　 　．
12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，2）和B（﹣1，﹣6）两点，则a+c的值是 　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当y≥5时，自变量x的取值范围是 　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 　 　个．
16．已知实数m，n满足m﹣n2＝3，则代数式m2+2n2﹣6m﹣2的最小值等于　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．已知二次函数y＝﹣x2+2tx﹣t+1（是常数）．
（1）求此函数的顶点坐标．（用含t的代数式表示）
（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求t的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值4，求t的值．
18．如图，7×8网格的每个小正方形边长均为1，将抛物线y1＝x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2．
（1）请直接写出抛物线y2的函数解析式　 　．
（2）图中阴影部分的面积为　 　；
（3）若将抛物线y2沿x轴翻折，求翻折后的抛物线解析式．
19．已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．
故选：A．
2．解：∵y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣2），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
故选：A．
3．解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，在y轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＞0，且交于y轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＜0，故选项错误；
故选：C．
4．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
5．解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
6．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2，即y＝﹣x2﹣2x﹣3．
故选：D．
7．解：抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＜0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（2，y3）四点，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|2+1|
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
8．解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，
故答案为：＞．
10．解：由开口向上，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线的表达式可以为y＝﹣x2+5，
故答案为：y＝﹣x2+5（答案不唯一）．
11．解：将抛物线y＝3x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2+1﹣2，即y＝3（x﹣1）2﹣1．
故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣1．
12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．
故答案为：﹣＜b＜﹣1．
13．解：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
，
两式相加，得：2a+2c＝﹣4，
则a+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
当y＝5时，则x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴当y≥5时，自变量x的取值范围是x≥4或x≤﹣2，
故答案为：x≥4或x≤﹣2．
15．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
，
解得，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，
（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，
∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，
又∵a＜0，m≠﹣，
∴a（m+）2＜0，
即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1＞﹣，
∴y1＜y2，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
16．解：∵m﹣n2＝3，
∴n2＝m﹣3，m≥3，
∴m2+2n2﹣6m﹣2
＝m2+2m﹣6﹣6m﹣2
＝m2﹣4m﹣8
＝（m﹣2）2﹣12，
∵（m﹣2）2≥1，
∴（m﹣2）2﹣12≥﹣11，
即代数式m2+2n2﹣6m﹣2的最小值等于﹣11．
故答案为﹣11．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，
∴顶点坐标为（t，t2﹣t+1）；
（2）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，
∴抛物线开口向下，在对称轴x＝t的右边y随x的增大而减小，
∴当x≥t时，y随x的增大而减小，
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴t≤2；
（3）∵当0≤x≤1时，该函数有最大值4，
∴①若t＜0，则当x＝0时，y＝﹣t+1＝4，
解得，t＝﹣3；
②若0≤t≤1，则t2﹣t+1＝4，
解得，t＝（舍）；
③若t＞1，则当x＝1时，y＝﹣1+2t﹣t+1＝4，
解得，t＝4．
综上，t＝﹣3或4．
18．解：（1）将抛物线y1＝x2﹣1的图象向右平移2个单位得到抛物线y2，则y2＝（x﹣2）2﹣1，即y2＝x2﹣4x+3；
（2）由题意，得图中阴影部分的面积为2×4＝8；
（3）将抛物线y2沿x轴翻折，翻折后的抛物线解析式为﹣y＝x2﹣4x+3，即y＝﹣x2+4x﹣3．
故答案为y2＝x2﹣4x+3；8．
19．解：（1）把A（2，1）代入y＝ax2得：
1＝4a，解得a＝，
∴这个函数的解析式为y＝x2；
（2）画出函数图象如下：
A（2，1）关于y轴的对称点B坐标为（﹣2，1）；
（3）抛物线上存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，理由如下：
设C（m，m2），如图：
∵A（2，1），B（﹣2，1），
∴AB＝4，
∴S△AOB＝×4×1＝2，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4×|m2﹣1|＝×2，
解得m＝±或m＝±，
∴C的坐标为（，）或（﹣，）或（，）或（﹣，）．
20．解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝，
∴y＝．
令y＝0，得＝0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；
（2）如图，
由y＝，
可得对称轴为：，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴，解得，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；
（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，），
∴，
即，
当时，
解得，
此时点M的坐标为：（，）或（，），
当时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（，）或（，）．
21．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t+2），
∴OE＝t，EH＝﹣t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝，
∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，
∴BE＝+t﹣2，
在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，
解得t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴B'（，）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣t+2），
由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴＝4，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．