2022-2023学年人教版 八年级数学上册第11章 三角形 同步练习（word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版 八年级数学上册第11章 三角形 同步练习（word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 842.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-06 14:36:40 | ||
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文档简介
三角形 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．9
2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
5．五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如图，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
6．根据下列已知条件，能确定△ABC 的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
7．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，则∠AOC的度数是（ ）
A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'
8．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ）
A．内角和不变，外角和增加180°
B．外角和不变，内角和增加180°
C．内角和不变，外角和增加360°
D．外角和不变，内角和增加360°
9．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的度数之和为（ ）
A．180° B．240° C．280° D．360°
10．如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
二．填空题（共10小题）
11．如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 是△ABC中AC边上的高．
12．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形的内角和为 ．
13．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝44°，则∠BFD＝ ．
14．已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为 ．
16．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 °．
17．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 ．
18．在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 ．
19．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
20．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 度．
三．解答题（共6小题）
21．如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1．
（1）求证：AB∥DF．
（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
22．如图，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．请说明∠B﹣∠C＝2∠DAE．
23．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
24．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
25．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．
（1）以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝90°∠1，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是 ．（填序号）
（2）请选择上述一条正确的结论，并加以证明．
26．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ；
（2）若∠GOA∠BOA，∠GADBAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝ （用含β的代数式表示）．
三角形 同步练习（解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．9
【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，
2＜x＜8，
只有7可以，
故选：C．
2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
3．若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：∵一个n边形的内角和是五边形外角和的3倍，
∴180°×（n﹣2）＝360°×3，
解得：n＝8，
故选：C．
4．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b
＝0．
故选：D．
5．五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如图，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）×180°﹣300°＝240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝120°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：B．
6．根据下列已知条件，能确定△ABC 的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm ，则利用“ASA ”可判断△ABC 是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故选：B．
7．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，则∠AOC的度数是（ ）
A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠EFA＝∠FAB＝∠B120°，
∵AD∥EF，
∴∠EFA+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝180°﹣∠EFA＝60°，
∴∠OAB＝∠FAB﹣∠FAD＝60°．
∵∠BCO＝68°32'，
∴∠AOC＝360°﹣∠OAB﹣∠B﹣∠BCO＝360°﹣60°﹣120°﹣68°32′＝111°28′，
故选：D．
8．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ）
A．内角和不变，外角和增加180°
B．外角和不变，内角和增加180°
C．内角和不变，外角和增加360°
D．外角和不变，内角和增加360°
【解答】解：设多边形的边数为n，
则多边形的内角和为（n﹣1）×180°，外角和为360°，
∴多边形的边数增加2，内角和增加2×180°＝360°，外角和不变，
故选：D．
9．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的度数之和为（ ）
A．180° B．240° C．280° D．360°
【解答】解：根据三角形内角和定理得：∠1+∠2＝180°﹣40°＝140°，∠3+∠4＝180°﹣40°＝140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．
故选：C．
10．如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E＝78°，∠F＝47°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，
∴∠A＝55°．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 BD 是△ABC中AC边上的高．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴BD⊥CD，
∴△ABC中AC边上的高是线段BD．
故答案为：BD．
12．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形的内角和为 1260° ．
【解答】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意得，
（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．
即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数为360°÷40°＝9．
∴多边形的边数为9，
∴这个多边形的内角和为（9﹣2） 180°＝1260°．
故答案为：1260°．
13．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝44°，则∠BFD＝ 67° ．
【解答】解：由题意可知，
∠ABF＝∠EBC∠ABC（90°﹣BAD）＝23°，
∠BFD＝90°﹣∠EBC＝90°﹣23°＝67°．
故答案为：67°．
14．已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ 33° ．
【解答】解：∵∠A＝114°，∠B＝∠C，
∴114°+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝33°，
故答案为：33°．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为 15° ．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠CAD＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE∠BAC＝35°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．
故答案为：15°．
16．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 30 °．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAE＝50°，
∴∠CAE＝60°，
∵△ADC沿直线AD折叠得到△ADE，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
故答案为：30．
17．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 1600米 ．
【解答】解：根据题意得：360°÷45°＝8，
则他走回点A时共走的路程是8×200＝1600（米）．
故回到A点共走了1600米．
故答案为：1600米．
18．在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 9cm ．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＜AC，两个新三角形的周长差为5cm，
∴（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝5cm，
∴AC﹣AB＝5cm，
∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm，
故答案为：9cm．
19．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
20．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080 度．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
故答案为：1080．
三．解答题（共6小题）
21．如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1．
（1）求证：AB∥DF．
（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵DE//BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴AB//DF；
（2）解：∵DE//BC，
∴∠EDF＝∠1＝52°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝52°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
答：∠C的度数为76°．
22．如图，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．请说明∠B﹣∠C＝2∠DAE．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
即∠DAE+∠AED＝90°，
而∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠DAE+∠C90°，
∴2∠DAE+2∠C+∠BAC＝180°，
即2∠DAE＝180°﹣2∠C﹣∠BAC＝∠B﹣∠C．
23．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
24．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
【解答】解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠CBP，∠BCP．
∴∠CBP+∠CBP．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠PBC+∠PCB．
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°90°．
（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，
∴∠PCD，∠PBC．
∴∠P．
（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，
∴∠CBP，∠BCP．
∴．
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°90°．
25．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．
（1）以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝90°∠1，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是 ①② ．（填序号）
（2）请选择上述一条正确的结论，并加以证明．
【解答】解：（1）①②；
（2）证明：
①∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
（∠ACD﹣∠ABC）
∠1，
即∠1＝2∠2，故①正确；
②∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB
＝180°（180°﹣∠1）
＝90°∠1，故②正确，③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO∠ACB，∠ACE∠ACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，
∴∠2∠1，
即∠1＝2∠2，故④错误；
故答案为：①②．
26．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 18° ；
（2）若∠GOA∠BOA，∠GADBAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 12° ；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝ β+15°或β﹣15° （用含β的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，
∴∠GAD∠BAD＝63°，∠EOA∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°，
故答案为：18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，
∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°，
故答案为：12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，
∴∠GAD＝30°β，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOAβ；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：2时，∠EOD＝30°，
∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝β+90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD∠BAD，
∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA＝β+90°，
∴∠OGAβ+15°；
当∠EOD：∠COE＝2；1时，∠EOD＝60°，
同理得到∠OGAβ﹣15°，
即∠OGA的度数为β+15°或β﹣15°．
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．9
2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
5．五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如图，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
6．根据下列已知条件，能确定△ABC 的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
7．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，则∠AOC的度数是（ ）
A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'
8．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ）
A．内角和不变，外角和增加180°
B．外角和不变，内角和增加180°
C．内角和不变，外角和增加360°
D．外角和不变，内角和增加360°
9．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的度数之和为（ ）
A．180° B．240° C．280° D．360°
10．如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
二．填空题（共10小题）
11．如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 是△ABC中AC边上的高．
12．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形的内角和为 ．
13．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝44°，则∠BFD＝ ．
14．已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为 ．
16．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 °．
17．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 ．
18．在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 ．
19．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 ．
20．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 度．
三．解答题（共6小题）
21．如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1．
（1）求证：AB∥DF．
（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
22．如图，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．请说明∠B﹣∠C＝2∠DAE．
23．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
24．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
25．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．
（1）以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝90°∠1，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是 ．（填序号）
（2）请选择上述一条正确的结论，并加以证明．
26．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ；
（2）若∠GOA∠BOA，∠GADBAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝ （用含β的代数式表示）．
三角形 同步练习（解析）
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．9
【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，
2＜x＜8，
只有7可以，
故选：C．
2．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是△ABC的高，
故选：B．
3．若n边形的内角和是五边形的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：∵一个n边形的内角和是五边形外角和的3倍，
∴180°×（n﹣2）＝360°×3，
解得：n＝8，
故选：C．
4．已知a，b、c是△ABC的三条边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣2b﹣2c B．2a+2b C．﹣2c D．0
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣c+a﹣b
＝0．
故选：D．
5．五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，如图，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P＝（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）×180°﹣300°＝240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝120°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：B．
6．根据下列已知条件，能确定△ABC 的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm ，则利用“ASA ”可判断△ABC 是唯一的，故符合题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30° ，△ABC 的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故选：B．
7．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥EF，∠BCO＝68°32'，则∠AOC的度数是（ ）
A．92°8' B．102°8' C．110°28' D．111°28'
【解答】解：∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠EFA＝∠FAB＝∠B120°，
∵AD∥EF，
∴∠EFA+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝180°﹣∠EFA＝60°，
∴∠OAB＝∠FAB﹣∠FAD＝60°．
∵∠BCO＝68°32'，
∴∠AOC＝360°﹣∠OAB﹣∠B﹣∠BCO＝360°﹣60°﹣120°﹣68°32′＝111°28′，
故选：D．
8．如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ）
A．内角和不变，外角和增加180°
B．外角和不变，内角和增加180°
C．内角和不变，外角和增加360°
D．外角和不变，内角和增加360°
【解答】解：设多边形的边数为n，
则多边形的内角和为（n﹣1）×180°，外角和为360°，
∴多边形的边数增加2，内角和增加2×180°＝360°，外角和不变，
故选：D．
9．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的度数之和为（ ）
A．180° B．240° C．280° D．360°
【解答】解：根据三角形内角和定理得：∠1+∠2＝180°﹣40°＝140°，∠3+∠4＝180°﹣40°＝140°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝140°+140°＝280°．
故选：C．
10．如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E＝78°，∠F＝47°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，
∴∠A＝55°．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 BD 是△ABC中AC边上的高．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴BD⊥CD，
∴△ABC中AC边上的高是线段BD．
故答案为：BD．
12．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，则这个多边形的内角和为 1260° ．
【解答】解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，由题意得，
（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．
即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数为360°÷40°＝9．
∴多边形的边数为9，
∴这个多边形的内角和为（9﹣2） 180°＝1260°．
故答案为：1260°．
13．如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝44°，则∠BFD＝ 67° ．
【解答】解：由题意可知，
∠ABF＝∠EBC∠ABC（90°﹣BAD）＝23°，
∠BFD＝90°﹣∠EBC＝90°﹣23°＝67°．
故答案为：67°．
14．已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ 33° ．
【解答】解：∵∠A＝114°，∠B＝∠C，
∴114°+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝33°，
故答案为：33°．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为 15° ．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠CAD＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE∠BAC＝35°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．
故答案为：15°．
16．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若∠BAE＝50°，则∠DAC的度数为 30 °．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAE＝50°，
∴∠CAE＝60°，
∵△ADC沿直线AD折叠得到△ADE，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
故答案为：30．
17．如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 1600米 ．
【解答】解：根据题意得：360°÷45°＝8，
则他走回点A时共走的路程是8×200＝1600（米）．
故回到A点共走了1600米．
故答案为：1600米．
18．在△ABC中，AB＜AC，BC边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为13cm，则AC的长为 9cm ．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AB＜AC，两个新三角形的周长差为5cm，
∴（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝5cm，
∴AC﹣AB＝5cm，
∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm，
故答案为：9cm．
19．如图，直线a∥直线b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，则∠ABC的大小为 40° ．
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
20．若对图1中星形截去一个角，如图2，再对图2中的角A，B，E，F如法进一步截去，如图3，则图中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ 1080 度．
【解答】解：根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．
故答案为：1080．
三．解答题（共6小题）
21．如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1．
（1）求证：AB∥DF．
（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵DE//BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴AB//DF；
（2）解：∵DE//BC，
∴∠EDF＝∠1＝52°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝52°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
答：∠C的度数为76°．
22．如图，△ABC中，AB＜AC，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．请说明∠B﹣∠C＝2∠DAE．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
即∠DAE+∠AED＝90°，
而∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠DAE+∠C90°，
∴2∠DAE+2∠C+∠BAC＝180°，
即2∠DAE＝180°﹣2∠C﹣∠BAC＝∠B﹣∠C．
23．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
24．在△ABC中，
（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？
（请选择其中一道小题写出详细过程）
【解答】解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠CBP，∠BCP．
∴∠CBP+∠CBP．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠PBC+∠PCB．
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°90°．
（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．
∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，
∴∠PCD，∠PBC．
∴∠P．
（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，
∴∠CBP，∠BCP．
∴．
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°90°．
25．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．
（1）以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝90°∠1，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝3∠2，其中正确的是 ①② ．（填序号）
（2）请选择上述一条正确的结论，并加以证明．
【解答】解：（1）①②；
（2）证明：
①∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
（∠ACD﹣∠ABC）
∠1，
即∠1＝2∠2，故①正确；
②∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB
＝180°（180°﹣∠1）
＝90°∠1，故②正确，③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO∠ACB，∠ACE∠ACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，
∴∠2∠1，
即∠1＝2∠2，故④错误；
故答案为：①②．
26．如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 18° ；
（2）若∠GOA∠BOA，∠GADBAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 12° ；
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF也将∠BAD分成1：2两部分，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝ β+15°或β﹣15° （用含β的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，
∴∠GAD∠BAD＝63°，∠EOA∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°，
故答案为：18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，
∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°，
故答案为：12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，
∴∠GAD＝30°β，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOAβ；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：2时，∠EOD＝30°，
∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝β+90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD∠BAD，
∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA＝β+90°，
∴∠OGAβ+15°；
当∠EOD：∠COE＝2；1时，∠EOD＝60°，
同理得到∠OGAβ﹣15°，
即∠OGA的度数为β+15°或β﹣15°．