数轴 绝对值与相反数
1. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）
A．3 B．2 C．0 D．﹣1
2. 在数轴上与表示﹣2的点相距5个单位长度的点所表示的数是（）
A．3 B．﹣7 C．7 D．3或﹣7
3. 有下列说法:①绝对值是它本身的数是正数;②最大的负整数是﹣1;③有理数分为正有理数和负有理数;④在数轴上7与9之间的有理数是8;⑤数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边.其中错误的（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 如图，下列判断正确的是（）
A．a的绝对值大于b的绝对值
B．a的绝对值小于b的绝对值
C．a的相反数大于b的相反数
D．a的相反数小于b的相反数
5．已知数轴上A,B两点分别表示有理数﹣3,﹣6.若在数轴上找一点C,使得点A与点C的距离为4;再找一点D,使得点B与点D的距离为1.则点C与点D的距离不可能为（）
A.0 B.2 C.4 D.6
6. 下列判断正确的是（）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b
C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|＝﹣|b|
7. 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2015cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（）
A．2015或2016 B．2014或2015 C．2016 D．2015
8. 若0＜a＜1，则下列关于a,﹣a,的大小关系正确的是（）
A. B.
C. D.
9. 如果m﹣1的相反数是3，那么﹣m=________.
10. 如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝ ．
11. 若|a|＝a，a是 ，若|﹣x|＝3，则x＝ ．
12. 一种新运算,规定有以下两种变换:
①f(m,n)=(m，﹣n)，如f(3，2)=(3，﹣2);g(m,n)=(﹣m，﹣n)，如g(3,2)=(﹣3，﹣2).按照以上变换有f(g(3,4))=f(﹣3,﹣4)=(﹣3,4),那么g(f(5,﹣6))=________.
13. 式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝ 时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是 ．
14. 一只小虫在数轴上从点A出发,第1次向正方向爬行1个单位长度后，第2次向负方向爬行2个单位长度,第3次又向正方向爬行3个单位长度,…,按上述规律,它第2021次刚好爬到数轴上的原点处,那么小虫爬行过程中经过数﹣100在数轴上对应的点的次数是________.
15. 若点A、B是数轴上的两个点，点A表示的数是﹣4，点B与点A的距离是2，点B表示的数是 ．
16．如图,数轴上每相邻两点相距1个单位长度,点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且b﹣2a=3c+d+21,那么数轴上原点的对应点是________.
17. 如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是 ．
18. “数形结合”思想在数轴上得到充分体现,如在数轴上表示数5和﹣2的两点之间的距离可列式表示为|5﹣(﹣2)|或|﹣2﹣5|;表示数α和﹣3的两点之间的距离可列式表示为|x﹣(﹣3)|=|x+3|.若|x+3|+|x﹣1|+|y+2|+|y﹣3|=9,则x+y的最大值为________.
19. 把下列各数在数轴上表示出来,并用“＜”连接起来.
20. 如图,半径为1的小圆与半径为2的大圆有一个公共点与数轴上的原点重合,两圆在数轴上做无滑动的滚动,小圆的运动速度为π个单位长度/s,大圆的运动速度为2π个单位长度/s.
(1)若小圆不动,大圆沿数轴来回滚动,规定大圆向右滚动的时间记为正数,向左滚动的时间记为负数,依次滚动的情况记录如下(单位:s):﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6.
①第______次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.
②当大圆结束运动时,大圆运动的路程共有多少 此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少(结果保留π)
(2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动,滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π,求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.
21. 我们知道,式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离,则式子|x﹣2|+2|x+1|的最小值是？
22．定义:设A,B,C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,我们就称点C是【A,B】的“美好点”.
例如:如图1，点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的“美好点”;又如:表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是【A,B】的“美好点”,但点D是【B,A】的“美好点”.
23. 如图2,M,N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣7,点N所表示的数为2.
(1）点E,F,G表示的数分别是﹣3,6.5，11,其中是【M,N】“美好点”的是________;写出【N,M】“美好点”H所表示的数是________.
(2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发,以2个单位长度/s的速度向左运动,设运动时间为ts.当t为何值时,点P,M和N中恰有一个点为其余两点的“美好点”
24. 阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，
点、都在原点的右边，如图2，；
点、在原点的左边，如图3，；
点、在原点的两边，如图4，．
综上，数轴上、两点的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果那么为 ．
（3）当代数式取最小值时，相应的取值范围是 ．数轴 绝对值与相反数
1. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．﹣1
答案：A
【解析】﹣2＋5＝3，
2. 在数轴上与表示﹣2的点相距5个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．3或﹣7
答案：D
【解析】若点在﹣2的左边，则﹣2﹣5＝﹣7，
若点在﹣2的右边，则﹣2＋5＝3，
所以，在数轴上与表示﹣2的点相距5个单位长度的点所表示的数是﹣7或3．
故选：D．
3. 有下列说法:①绝对值是它本身的数是正数;②最大的负整数是﹣1;③有理数分为正有理数和负有理数;④在数轴上7与9之间的有理数是8;⑤数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边.其中错误的（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：D
4. 如图，下列判断正确的是（ ）
A．a的绝对值大于b的绝对值
B．a的绝对值小于b的绝对值
C．a的相反数大于b的相反数
D．a的相反数小于b的相反数
答案：C
【解析】没有原点，无法判断|a|，|b|，有可能|a|＞|b|，|a|＝|b|，|a|＜|b|．
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b，
由不等式的性质，得﹣a＞﹣b，
故C符合题意；
5．已知数轴上A,B两点分别表示有理数﹣3,﹣6.若在数轴上找一点C,使得点A与点C的距离为4;再找一点D,使得点B与点D的距离为1.则点C与点D的距离不可能为（）
A.0 B.2 C.4 D.6
答案：C
【解析】如图,在数轴上满足点A与点C的距离为4的点C有点和点,满足点B与点D的距离为1的点D有点和点,所以=6, =8, =2, =0,所以点C与点D的距离可能为6,8,2,0,不可能为4.
6. 下列判断正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣b
C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若a＝﹣b，则|a|＝﹣|b|
答案：C
【解析】若|a|＝|b|，则a＝﹣b或a＝b，所以A，B选项错误；
若a＝b，则|a|＝|b|，所以C选项正确；
若a＝﹣b，则|a|＝|b|，所以D选项错误．
7. 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2015cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2015或2016 B．2014或2015 C．2016 D．2015
答案：A
【解析】依题意得：
①当线段AB起点在整点时覆盖2016个数，
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2015个数，
综上所述，盖住的点为：2015或2016．
8. 若0＜a＜1，则下列关于a,﹣a,的大小关系正确的是（）
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】特殊值法，如果a=，则﹣a=﹣，，所以
9. 如果m﹣1的相反数是3，那么﹣m=________.
答案：2
10. 如果1＜x＜2，化简|x﹣1|＋|x﹣2|＝ ．
答案：1
【解析】∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴|x﹣1|＋|x﹣2|＝x﹣1＋2﹣x＝1．
11. 若|a|＝a，a是 ，若|﹣x|＝3，则x＝ ．
答案：非负数，±3
【解析】因为|a|＝a，
所以a≥0，即a是非负数；
因为|﹣x|＝3，
所以﹣x＝±3
即x＝±3．
12. 一种新运算,规定有以下两种变换:
①f(m,n)=(m，﹣n)，如f(3，2)=(3，﹣2);g(m,n)=(﹣m，﹣n)，如g(3,2)=(﹣3，﹣2).按照以上变换有f(g(3,4))=f(﹣3,﹣4)=(﹣3,4),那么g(f(5,﹣6))=________.
答案：（﹣5，﹣6）
13. 式子|m﹣3|＋6的值随着m的变化而变化，当m＝ 时，|m﹣3|＋6有最小值，最小值是 ．
答案：3，6
【解析】式子|m﹣3|＋6的值随着m的变化而变化，
当m＝3时，|m﹣3|＋6有最小值，最小值是：6．
14. 一只小虫在数轴上从点A出发,第1次向正方向爬行1个单位长度后，第2次向负方向爬行2个单位长度,第3次又向正方向爬行3个单位长度,…,按上述规律,它第2021次刚好爬到数轴上的原点处,那么小虫爬行过程中经过数﹣100在数轴上对应的点的次数是________.
答案：200
【解析】根据题意,设小虫的出发点A对应的数为a ,经过m 次爬行到达数
﹣100对应的点，则a＋1－2＋3－4＋5－6＋…－2020＋2021=0，所以a－2020＋2021=0,所以a=-1011. 因为小虫每爬行2次向负方向爬行1个单位长度,-1011<-100,所以可知小虫第m次是向正方向爬行,且 m为奇数.所以-1011＋1－2＋3—4＋…－(m－1)＋m=-100,所，所以-1011＋（-1）×，解得m=1821. 所以小虫爬行过程中经过数-100在数轴上对应的点的次数为2021－1821=200.
15. 若点A、B是数轴上的两个点，点A表示的数是﹣4，点B与点A的距离是2，点B表示的数是 ．
答案：﹣6或﹣2
【解析】（1）点B在点A的左边时，
点B表示的数为：
﹣4﹣2＝﹣6．
（2）点B在点A的右边时，
点B表示的数为：
﹣4＋2＝﹣2．
∴点B表示的数为﹣6，﹣2．
16．如图,数轴上每相邻两点相距1个单位长度,点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d,且b﹣2a=3c＋d＋21,那么数轴上原点的对应点是________.
答案：D
【解析】由题图可知d－c=3,d－6=4,d－a=8,故c=d－3,b=d－4,a=d－8,代入b－2a=3c＋d＋21,得d－4－2(d－8)=3(d－3)＋d＋21,解得d=0.故数轴上原点的对应点是D.
17. 如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是 ．
答案：2﹣2π
【解析】∵半径为1个单位长度的圆形纸片从2沿数轴向左滚动一周，
∴OA′之间的距离为圆的周长＝2π，A′点在2的左边，
∴A′点对应的数是2﹣2π．
18. “数形结合”思想在数轴上得到充分体现,如在数轴上表示数5和﹣2的两点之间的距离可列式表示为|5﹣(﹣2)|或|﹣2﹣5|;表示数α和﹣3的两点之间的距离可列式表示为|x﹣(﹣3)|=|x＋3|.若|x＋3|＋|x﹣1|＋|y＋2|＋|y﹣3|=9,则x＋y的最大值为________.
答案：4
【解析】根据题意可知, |x＋3|+|z－1|可以理解成在数轴上,表示数x和－3的两点之间的距离与表示数x和1的两点之间的距离之和,所以结合数轴可知,| x＋3|＋|x－1|大于等于4,且当表示数x的点在表示数－3和1的两点之间时(包括与这两个点重合),| x＋3|＋|x－1|=4.同理|y＋2|+|y－3|大于等于5,且当表示数y的点在表示数－2和3的两点之间时(包括这两个点)，|y＋2|＋|y－3[=5.因为|x＋3|＋|x－1|＋|y＋2|+|y－3|=9,所以|x＋3|＋|x－1|=4, |y＋2|＋|y－3|=5.要使x＋y的值最大，则x , y应取各自的最大值,所以x=l,y=3.所以x＋y的最大值为4.
19. 把下列各数在数轴上表示出来,并用“＜”连接起来.
答案：解:各数在数轴上的表示如图所示:
所以
20. 如图,半径为1的小圆与半径为2的大圆有一个公共点与数轴上的原点重合,两圆在数轴上做无滑动的滚动,小圆的运动速度为π个单位长度/s,大圆的运动速度为2π个单位长度/s.
(1)若小圆不动,大圆沿数轴来回滚动,规定大圆向右滚动的时间记为正数,向左滚动的时间记为负数,依次滚动的情况记录如下(单位:s):﹣1，＋2，﹣4，﹣2，＋3，＋6.
①第______次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.
②当大圆结束运动时,大圆运动的路程共有多少 此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少(结果保留π)
(2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动,滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π,求此时两圆与数轴重合的点所表示的数.
答案：解:(1）①4
提示:根据题意知,第1次到第6次滚动后,大圆与数轴的公共点到原点的距离分别为2π,2π,6π,10π,4π,8π,所以第4次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远.
②总路程为,此时两圆与数轴重合的点之间的距离为|2π＋2×2π－4×2π－2×2π＋3×2π＋6×2π|=8π.
(2)①当它们同向运动时,运动时间为.小圆、大圆与数轴重合的点所2表示的数分别为9π,18π或-9π，-18π ;
②当它们反向运动时,运动时间为，小圆、大圆与数轴重合的点所表
示的数分别为-3π,6π或3π,-6π。
21. 我们知道,式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离,则式子|x﹣2|＋2|x＋1|的最小值是？
答案：3
【解析】解法1：易知|x―2|＋2| x＋1|=| x—2|+|x＋1|+| x＋1|.因为|x—2|+| x＋1|可以看成数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数-1的点的距离之和,且由绝对值的几何意义可知,该和的最小值为3,此时表示数x的点在表示数2的点与表示数-l的点之间(包括两端点)，所以|x―2|+|x＋1|+|x＋1|的最小值可以看成前面两式和的最小值与|x＋1|的最小值的和.因为|x＋1|的最小值为0,且取最小值时x的值为-1,符合|x－2|+|x＋1|取最小值的条件,所以式子|x－2|＋2|x＋1|的最小值是3＋0=3.
解法2当x>2时,| x－2|＋2|x＋1|=3x>6;当x＜-1时,| x－2|＋2| x＋1|=-3x>3;当
-1≤x≤2时, |x－2|＋2|x＋1|=x＋4,3≤x＋4≤6.综上所述, |x－2|+2|x＋1|的最小值是3.
22．定义:设A,B,C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,我们就称点C是【A,B】的“美好点”.
例如:如图1，点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的“美好点”;又如:表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是【A,B】的“美好点”,但点D是【B,A】的“美好点”.
答案：（1）G -4或-16
（2）分8种情况
①当P为【M,N】的“美好点”,点P在点M,N之间时,PM=2PN,因为MN=9,所以易知PN=3,点P对应的数为-1,所以2t=3,解得t=1.5;
②当P为【N,M】的“美好点”,点P在点M,N之间时,PN=2PM,易知PN=6,点P对应的数为-4,所以2t=6,解得t=3;
③当P为【N,M】的“美好点”,点P在点M左侧时,PN=2PM,易知PN=18,点P对应的数为-16,所以2t=18,解得t=9;
④当M为【P,N】的“美好点”,点P在点M左侧时,MP=2MN,易知NP=27,点P对应的数为-25,所以2t=27,解得t=13.5;
⑤当M为【N,P】的“美好点”,点P在点M左侧时,MN =2MP时,易知 NP=13.5,点P对应的数为-11.5,所以2t=13.5，解得t=6.75;
⑥当M 为【N,P】的“美好点”,点P在点M,N之间,MN=2MP ,易知NP=4.5,点P对应的数为-2.5,所以2t=4.5,解得t=2.25;
⑦当N为【P,M】的“美好点”,点P在点M左侧时,NP=2NM时,易知 NP=18,点P对应的数为-16,所以2t=18,解得t=9;
⑧当N为【M,P】的“美好点”,点P在点M右侧时,NM=2NP ,易知NP=4.5,点P对应的数为-2.5,所以2t=4.5,解得t=2.25.
综上所述,满足题意的t的值为1.5，2.25,3,6.75,9,13.5.
23. 如图2,M,N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣7,点N所表示的数为2.
(1）点E,F,G表示的数分别是﹣3,6.5，11,其中是【M,N】“美好点”的是________;写出【N,M】“美好点”H所表示的数是________.
(2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发,以2个单位长度/s的速度向左运动,设运动时间为ts.当t为何值时,点P,M和N中恰有一个点为其余两点的“美好点”
答案：
24. 阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，
点、都在原点的右边，如图2，；
点、在原点的左边，如图3，；
点、在原点的两边，如图4，．
综上，数轴上、两点的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果那么为 ．
（3）当代数式取最小值时，相应的取值范围是 ．
答案：解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：5﹣2＝3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣5）＝3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4；
故答案为：3；3；4；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x＋1|，
|AB|＝2，则|x＋1|＝2，故x＝1或﹣3；
故答案为：|x＋1|，1或﹣3；
（3）若|x＋1|＋|x﹣2|取最小值，那么表示x的点M在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2；
故答案为：﹣1≤x≤2．
