2022-2023学年苏科版八年级数学上册1.3 探索全等三角形的条件（1）》 提优训练（word、含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上
《1.3 探索全等三角形的条件（1）》同步强化提优训练（SAS）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．如图要使△ABC≌△ADC，只要具备条件(　　)
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用SAS证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是(　　)
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BC＝EF D．AC＝DF
3．如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量，AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　　)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
4．如图4所示，AD＝BC，要用“SAS”判定△ADC≌△CBA，需补充一个条件，则下列条件：①AD∥BC，②AB∥CD，③AB＝BC，④∠α＝∠β中，符合题意的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
6．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　　）
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF＞EF D．FD∥BC
　
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）
A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
9．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
10.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
二．填空题(30分)
11．如图AB＝AD，∠DAE＝∠BAC，要利用“SAS”来证明△ABC≌△ADE，你认为应补充的条件是____________．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图所示，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝FC，∠A＝∠F，如果用“SAS”证明△ABC≌△FED，只需添加条件_______即可．
13．如图AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有________．(把正确结论的序号都填上)
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝_______．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为_______.
16．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是_______．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图　
17．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
18．如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是___________．（答案不唯一）
19．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为__________．
20．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是______.
三。解答题（60分）
21．（6分）如图所示，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．
22（6分）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD.若圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长．你能说明其中的道理吗？
23．（6分）如图在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC上的一点，BN＝CM，CP＝BM.
求证：∠NMP＝90°－∠A.
24．（6分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t(s)，当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
25.（8分）如图所示，要在A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点间的距离，请你用所学知识按以下要求设计一套测量方案．
(1)画出测量图；
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)，并计算A，B间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)．
26．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高线，P是BE上一点，且BP＝AC，Q是CF延长线上一点，且CQ＝AB，连结AP，AQ，QP.求证：
(1)AQ＝PA.
(2)AP⊥AQ.
27．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
28．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC=BD
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F为垂足，AG=GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．如图要使△ABC≌△ADC，只要具备条件(　D　)
A．AB＝AD，∠B＝∠D B．AB＝AD，∠ACB＝∠ACD
C．BC＝DC，∠BAC＝∠DAC D．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用SAS证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是(　C　)
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BC＝EF D．AC＝DF
[解析] 　∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，可添加条件BC＝EF.理由：在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF.(SAS)．故选C.
3．如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量，AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　B　)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
4．如图4所示，AD＝BC，要用“SAS”判定△ADC≌△CBA，需补充一个条件，则下列条件：①AD∥BC，②AB∥CD，③AB＝BC，④∠α＝∠β中，符合题意的有(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　D　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．　
6．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　B　）
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF＞EF D．FD∥BC
解：∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE，在△ABF与△ADF中，，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A正确，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，
∴DF∥BC，故D正确；∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C正确；∵∠EFD=∠DBC=∠BAC=2∠1，故B错误．故选B．
　
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的有（　D　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图，∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=2∠C，∴∠2=∠C，∴BE=CE，∵AC﹣CE=AE，
∴AC﹣BE=AE，故①正确；∵BE=CE，点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；∵∠1=∠2=∠C，∴∠C=∠1=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=90°﹣60°=30°，∴∠DAE=∠C，故③正确；在Rt△BAC中，∠C=30°，∴BC=2AB，在Rt△BDA中，∠1=30°，∴AB=2AD，
∴BC=4AD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④．故选D．
8．如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　B　）
A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
解：A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中
，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选B．
9．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　B　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=70°，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°故选：B．
10.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　B　）
A．13 B．15 C．17 D．19
解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．
二．填空题(30分)
11．如图AB＝AD，∠DAE＝∠BAC，要利用“SAS”来证明△ABC≌△ADE，你认为应补充的条件是_____AC＝AE_______．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
12．如图所示，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝FC，∠A＝∠F，如果用“SAS”证明△ABC≌△FED，只需添加条件___AB＝EF_____即可．
[解析] ∵AD＝CF，∴AC＝DF.∵∠A＝∠F，∴当AB＝FE时，根据“SAS”即可判断△ABC≌△FED.故答案为AB＝EF.
13．如图AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有_①②③④_______．(把正确结论的序号都填上)
[解析] ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴S△ABD＝S△ACD.在△BDF和△CDE中，∵∴△BDF≌△CDE.(SAS)∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED.∴BF∥CE.故本题答案为①②③④.
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD∶∠BAD＝1∶7，则∠BAC＝48°．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为__48°_____.
【解】　∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∴∠ABC＝48°.∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°－60°－48°＝72°.∵EF是BC的中垂线，∴BE＝CE，∠BEF＝∠CEF＝90°.又∵EF＝EF，∴△BEF≌△CEF(SAS)，∴∠FCB＝∠FBC＝24°，∴∠ACF＝72°－24°＝48°.
16．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是1【解】　延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.∵AC＋CE＞AE，且可证CE＝AB，∴AC＋AB＞2AD，∴AD＜7.∵AB－AC＜2AD，∴AD＞1.∴1＜AD＜7.
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图　
17．如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝_120°__．
解： 在与中，
故答案为：
18．如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是___AD＝BC________．（答案不唯一）【详解】：添加条件：AD＝BC，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴AC＝BD．
19．如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与的数量关系为___互补_______．【详解】如图∵，，,∴，∴
∴，故答案为：互补．
20．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是__70°____.
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=70°；
三。解答题（60分）
21．（6分）如图所示，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．
解：图中有三对全等三角形，分别是△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC.
选取△ABF≌△DEC，证明如下：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.在△ABF和△DEC中，
∵∴△ABF≌△DEC.(SAS)
22（6分）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD.若圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长．你能说明其中的道理吗？
解：如图，连接AB，CD.在△ABO和△DCO中，∵∴△ABO≌△DCO.(SAS)∴AB＝CD.
23．（6分）如图在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC上的一点，BN＝CM，CP＝BM.
求证：∠NMP＝90°－∠A.
证明：在△MBN和△PCM中，∵∴△MBN≌△PCM.(SAS)∴∠BMN＝∠CPM.
∵∠PMB＝∠NMP＋∠BMN＝∠C＋∠CPM，∴∠NMP＝∠C＝(180°－∠A)＝90°－∠A.
24．（6分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t(s)，当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
【解】　∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE.当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，此时2t＝2，解得t＝1.当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，
此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋(DA－AP)＝6＋4＋(6－2)＝14，即2t＝14，解得t＝7.
∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等
25.（8分）如图所示，要在A，B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点间的距离，请你用所学知识按以下要求设计一套测量方案．
(1)画出测量图；
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)，并计算A，B间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)．
解： (1)如图所示．
(2)在陆地上找到可以直接到达A，B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并使OC＝OA，在BO的延长线上取一点D，并使OD＝OB，这时测出CD的长为a，则AB的长为a.由测法可得OC＝OA，OD＝OB.在△AOB和△COD中，因为所以△AOB≌△COD.(SAS)所以AB＝CD＝a.
26．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高线，P是BE上一点，且BP＝AC，Q是CF延长线上一点，且CQ＝AB，连结AP，AQ，QP.求证：
(1)AQ＝PA.
(2)AP⊥AQ.
【解】　(1)∵BE，CF是△ABC的高线，∴BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABP＋∠BAC＝∠ACQ＋∠BAC＝90°，∴∠ABP＝∠ACQ.在△AQC和△PAB中，∵
∴△AQC≌△PAB(SAS)．∴AQ＝PA.
(2)∵△AQC≌△PAB，∴∠BAP＝∠CQA.∵∠CQA＋∠BAQ＝90°，∴∠BAP＋∠BAQ＝90°，∴AP⊥AQ.
27．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【解答】解：（1）△BPD≌△CQP，理由如下：∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3（cm），
∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5（cm），∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，∴点P，点Q运动的时间t==（s），∴vQ===（cm/s），答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等．
28．（12分）如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC=BD
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F为垂足，AG=GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，∴∠ACE=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，∴AD⊥AE；
（3）解：FG⊥AC．理由如下：连接CF，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∵AF⊥DE，AD⊥AE，∴AF=DF=EF=DE，∵EC⊥BC，∴CF=DE，∴AF=CF，又∵AG=GC，∴FG⊥AC．