2022-2023学年北师大版九年级数学上册2.6一元二次方程的应用 同步练习题（word,含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.6一元二次方程的应用》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
2．某小区原有一块长为50米，宽为40米的矩形健身场地，现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路，使小路所占的面积是原面积的，设这条小路的宽度为x米，则所列方程正确的是（　　）
A．2（50x+40x）＝50×40×
B．（50﹣x）（40﹣x）＝50×40×
C．（50+2x）（40+2x）＝50×40×
D．（50﹣2x）（40﹣2x）＝50×40×
3．如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．（20﹣x）（38﹣x）＝540
B．（20﹣x）（38﹣x）＝38×20﹣540
C．（20﹣2x）（38﹣2x）＝540
D．（20﹣2x）（38﹣2x）＝38×20﹣540
4．如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽xm，若x满足方程x2﹣17x+16＝0，则修建的示意图是（　　）
A． B． C．D．
5．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．2x（x﹣1）＝21 D．x（x+1）＝21
6．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有（　　）
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（　　）
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
二．填空题
9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，图象如图所示，则小球从抛出到落地共用时为 　 　s．
10．如图是一张长20cm，宽10cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　．
11．高淳区去年螃蟹放养面积为20万亩，每亩产量为40kg，为满足市场需要，今年该区扩大了放养面积，并且全部放养了高产的新品种螃蟹．已知今年螃蟹的总产量为1500万kg，且螃蟹放养面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，求该区今年螃蟹的亩产量．设亩产量的增长率为x，列方程为 　 　
12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　 　．
13．某校去年对学生所用实验器材的投资是10万元，预计今明两年的投资总额为26.4万元，求今明两年该校在实验器材投资上的年平均增长率，设今明两年该校在实验器材投资上的年平均增长率为x，则可列方程为 　 　．
14．某校规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽度的三条小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是　 　．
15．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程 　 　．
三．解答题
16．金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元．其每周的销量可增加20个．
（1）台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为 　 　个．
（2）如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
17．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
18．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
19．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．
20．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7米，求BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为192平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到198平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当Q到达点C时，点Q、P同时停止移动．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5cm？
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝　 　cm；BQ＝　 　cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）若PQ＝4cm，求x的值．
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
参考答案
一．选择题
1．解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
2．解：∵这条小路的宽度为x米，
∴小路围起来的部分是长为（50﹣2x）米、宽为（40﹣2x）米的矩形．
依题意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝50×40×（1﹣）．
故选：D．
3．解：∵小路宽为xm，
∴种植草坪的部分可合成长为（38﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
依题意得：（20﹣x）（38﹣x）＝540．
故选：A．
4．解：∵x2﹣17x+16＝0，即（x﹣1）（x﹣16）＝0，
∴x1＝1，x2＝16．
又∵矩形场地ABCD的长为16m，宽为9m，
∴x＝1．
A．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1）×（9﹣1×2）＝105（m2），
∵105≠112，
∴选项A不符合题意；
B．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×3）×（9﹣1）＝104（m2），
∵104≠112，
∴选项B不符合题意；
C．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×2）×（9﹣1）＝112（m2），
∵112＝112，
∴选项C符合题意；
D．种植草坪部分的总面积＝（16﹣1×2）×（9﹣1×2）＝98（m2），
∵98≠112，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．解：根据题意，得，
故选：B．
6．解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x，
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，
∴经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选：D．
7．解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝57，
整理得：x2+x﹣56＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
故选：B．
8．解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
故选：B．
二．填空题
9．解：令h＝0，则30t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
∴小球从抛出到落地共用时为6s，
故答案为：6．
10．解：∵纸板是长为20cm，宽为10cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，
∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm．
依题意，得：（20﹣2x）（10﹣2x）＝144，
故答案为：（20﹣2x）（10﹣2x）＝144．
11．解：设亩产量的增长率为x，
则螃蟹放养面积的增长率为2x，
根据题意，得：20（1+2x） 40（1+x）＝1500，
故答案为：20（1+2x） 40（1+x）＝1500．
12．解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
13．解：设今明两年该校在实验器材投资上的年平均增长率为x，则可列方程为10（1+x）+10（1+x）2＝26.4．
故答案是：10（1+x）+10（1+x）2＝26.4．
14．解：设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，
依题意，得：（16﹣x）（9﹣2x）＝112．
整理，得：2x2﹣41x+32＝0．
故答案为：2x2﹣41x+32＝0．
15．解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，
依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，
故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．
三．解答题
16．解：（1）100+×20
＝100+40
＝140（个），
∴台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为140个．
故答案为：140．
（2）设这种台灯的售价应降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+×20）个，
依题意得：（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
答：这种台灯的售价应降价4元或6元．
（3）∵尽可能让利于顾客，赢得市场，
∴x＝4舍去，
∴每个台灯应降价6元，售价为60﹣6＝54（元），折扣率为×100%＝90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
17．解：（1）500×（1+20%）2＝500×1.44＝720（个）．
答：该工厂在四月份能生产720个“冰墩墩”．
（2）设每个“冰墩墩”降价x元，则每个盈利（40﹣x）元，平均每天可售出20+×10＝（20+5x）个，
依题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1440，
整理得：x2﹣36x+128＝0，
解得：x1＝4，x2＝32（不符合题意，舍去）
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
18．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，120），（4，140）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100（0＜x＜20）．
（2）（60﹣3﹣40）×（10×3+100）
＝（60﹣3﹣40）×（30+100）
＝17×130
＝2210（元）．
答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元．
（3）依题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝9．
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝9．
答：这种干果每千克应降价9元．
19．解：（1）∵AB＝x米，
∴BC＝（30﹣3x）米，
∴y＝x（30﹣3x）．
∵，
∴≤x＜10．
∴y＝x（30﹣3x）（≤x＜10）．
（2）依题意得：x（30﹣3x）＝63，
整理得：x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝7，x2＝3（不符合题意，舍去）．
答：AB的长为7米．
（3）不能围成面积为78平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（30﹣3x）＝78，
整理得：x2﹣10x+26＝0，
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×26＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
即不能围成面积为78平方米的花圃．
20．解：（1）45﹣3×7+3×1
＝45﹣21+3
＝27（米）．
故答案为：27．
（2）设CD的长为x米，则BC的长为（45﹣3x+3）米，
依题意得：x（45﹣3x+3）＝192，
整理得：x2﹣16x+64＝0，
解得：x1＝x2＝8，
当x＝8时，45﹣3x+3＝45﹣3×8+3＝24＜27，符合题意．
答：边CD的长为8米．
（3）饲养场的面积不能达到198平方米，理由如下：
设CD的长为y米，则BC的长为（45﹣3y+3）米，
依题意得：y（45﹣3y+3）＝198，
整理得：y2﹣16y+66＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×66＝﹣8＜0，
∴该方程无实数解，
即饲养场的面积不能达到198平方米．
21．解：当运动时间为ts时，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，2t＝2×1＝2＜7，符合题意；
当t＝4时，2t＝2×4＝8＞7，不符合题意，舍去．
答：1s后，△PBQ的面积为4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝2．
答：2s后，PQ的长度为5cm．
22．解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DH＝AB＝6cm．
根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
23．解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
根据勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，
即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x＝或x＝2，
答：PQ＝4cm，x的值为或2；
（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ
＝AB BC﹣AD AP﹣CD CQ﹣BP BQ
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x） 2x
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
24．解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ＝BQ，
∵CQ＝t，
∴BQ＝16﹣t，
∴EQ＝8﹣t，
∴EC＝8﹣t+t＝8+t．
∴2t＝8+t．
解得：t＝．
如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE＝QC＝t，
∴PE＝t，QE＝CD＝12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ＝．
16﹣t＝，
解得：t＝；
如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，
∵CQ＝t，
∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，
∵PD＝2t，
∴CE＝2t，
∴BE＝16﹣2t，
在Rt△BEP中，
（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，
3t2﹣32t+144＝0，
△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，
故方程无解．
综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．