博师教育2023届高三上学期第一次考试数学理科试题（Word含解析）

博师教育2023届高三上学期第一次考试数学理科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知i为虚数单位，若是实数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，为互斥事件，则
A． B．
C． D．
5．已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在上的函数满足：①，②，③且时，，则等于
A．1 B． C． D．
7．已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，，，三棱柱的侧面积为，则球表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支相交于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若函数在上有极值点，则的取值范围为___________.
14．已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是____________.
15．已知点，P为圆上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为___________.
16．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______m．
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与（，2，…）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.
18．某公司加班加点生产口罩，防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）．
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD＝4．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，点G在线段PD上，且．
(1)当时，证明：平面BEF；
(2)当三棱锥F－EGH的体积为时，求的值．
20．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，在直线的同侧，且点，到直线l的距离分别为，.
(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；
(3)结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，设函数，若，求证：．
22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)写出的直角坐标方程和的普通方程；
(2)已知点，与相交于、两点，求的值.
23．已知关于x的不等式有解.
(1)求实数m的取值范围；
(2)设是m的最大值，若，，，且，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C【分析】解不等式求得集合，由此求得.
【详解】，所以，
所以.
故选：C
2．C【分析】先对复数化简，然后由其为实数可求出，从而可求出
【详解】．
因为是实数，所以，解得，
所以．
故选：C
3．D【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】由题意知，
，
即，所以.
故选：D.
4．B【详解】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以
5．B【分析】判断出命题的真假后结合复合命题真假判断原则可得正确的选项.
【详解】对于命题，因为，其中，
而，故无解，故命题为假命题.
对于命题，因为对任意，总有，故命题为真命题.
故、、均为假命题，为真命题，
故选：B.
6．B【分析】将代入求得，根据求得；分别令和求得；由可求得，进而得到结果.
【详解】由得：，又
由得：
令，则 ，则
令，则；
，即

故选
【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求解函数值的问题；解决此类问题通常采用特殊值的方式，代入已知关系式中，采用构造的方式，通过自变量的关系求得具体的函数值.
7．B【分析】设三棱柱的高为，，根据题意得出，设的外接圆半径为、球的半径为，根据勾股定理得出的表达式，结合基本不等式即可得出结果.
【详解】设三棱柱的高为，.
因为，
所以，
则该三棱柱的侧面积为，故.
设的外接圆半径为，则.
设球的半径为，则（当且仅当时，等号成立），
故球的表面积为.
故选：B
8．A【分析】由分组分配的方法可确定总体的分配方法数和女生分配到不同农场的方法数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，共有种分配方法；
其中两名女生被分配到不同农场的情况有种；
所求概率.
故选：A.
9．D【解析】根据三角函数的定义得，，进而得，再结合三角恒等变换和三角函数的性质得.
【详解】解：根据三角函数的定义得,
由于角的终边顺时针旋转得到角，故,
所以，
所以
因为，所以，
所以，即.
故选：D.
【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.
10．D【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.
【详解】设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
11．C【分析】设切点为，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.
【详解】设切点为，，则切线斜率为，
所以，所求切线方程为，
将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，
因此，所求切线方程为.
故选：C.
12．A【分析】根据题意和平面向量数量积的定义与双曲线的定义可得、
、，利用余弦定理求出，结合整理计算即可.
【详解】如图，
由，，
得，，
所以，由双曲线的定义，
得，，
有，又，
则，
所以，得，
所以，
在和中，由余弦定理，得
,
，
所以，
整理，得，解得或(舍去)，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
13．【解析】由函数在上有极值点，可得在上有零点，再利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在上有极值点，
所以在上有零点，
因为在上都递减，
所以在上为减函数，
所以，解得.
故答案为：.
14．①⑤【分析】①直接求解即可判断；②利用导数证；③④取特殊函数进行判断；
⑤根据定义可得：．
【详解】①则，①正确；
②构建则
令则
∴在上递减，在上递增，则
∴即不存在不动点，②不正确；
③为偶函数，显然只有一个不动点；③不正确；(为奇函数, 显然有无数个不动点)
④为周期函数，显然只有一个不动点；④不正确；
⑤若存在不动点，设为，即
∴，则也存在不动点，⑤正确．
故答案为：①⑤．
15．.【分析】设所求点为，，将点P的坐标代入已知圆的方程得到，然后通过中点坐标公式求出，进而代入，化简即可得到答案.
【详解】设AP的中点为，，所以，而，所以，即AP中点的轨迹方程为：.
故答案为：.
16．10【分析】在中，求得，由正弦定理得到，再在直角中，得到，即可求解.
【详解】在中，因为，，可得，
由正弦定理，可得，
在直角中，可得.
即塔高为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和的基本量进行运算即可.
（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.
(1)
设的公差为d，由已知得，.
解得，.所以.
(2)
因为与（，2，…）之间插入个1，
所以在中对应的项数为，
当时，，
当时，，
所以，，且.
因此.
18．(1)0.030
(2)平均数为71，中位数为73.33
【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率之和为1求得；
（2）由同一组中的数据用该组区间中点值乘以频率相加得平均值，求出频率对应的值即得中位数．
(1)
由，得m＝0.030，
所以直方图中m的值是0.030．
(2)
平均数为，
因为，，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则，
解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．
19．(1)证明见解析;(2)或.【分析】(1)取AE中点M，根据面面平行的判定定理可得平面平面BEF，根据面面平行的性质即可证明；
(2)由可得，根据等体积法可求解.
【详解】解：（1）证明：依题意，当时，G为FD中点，
取AE中点M，连接MG，MH，
∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，
又G，M分别是DF，AE的中点，∴，
∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，
同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，
∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，
又∵平面，∴平面平面BEF，
∵平面MHG，∴平面BEF；
（2）∵，∴，∴，
∴，
解得或．
20．(1)；1个公共点；
(2)；
(3)，证明见解析.
【分析】（1）直接由点到直线的距离公式求出，联立直线与椭圆方程，由判断交点个数即可；
（2）先由点到直线的距离公式表示出，联立直线与椭圆方程，由解得，进而求出的范围即可；
（3）直线l与椭圆C有公共点的充要条件是，先由点到直线的距离公式表示出，联立直线与椭圆方程，有公共点等价于，解得，进而求出的范围即可；即可证明.
(1)
由题意知：，直线l的方程为，则，；
联立直线与椭圆方程得，，故直线l与椭圆C有1个公共点；
(2)
由题意知：，直线l的方程为，点，在直线的同侧，则，
；联立直线与椭圆方程得，
由直线l与椭圆C有两个公共点，可得，即，即，
故，故；
(3)
直线l与椭圆C有公共点的充要条件是，证明如下：
由（2）知；
联立直线与椭圆方程得，直线l与椭圆C有公共点，
等价于，即，
即，故，故.
21．(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由，可得在上单调递增，令，利用导数可求得，从而得，再由在上单调递增结合，得，从而可证得结论
(1)
，．
当时，，单调递增．
当时，令，得，
令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
(2)
当时，，，
，
∴在上单调递增．
令，则，
令，则，
∴在上单调递增．
又，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
∴，∴．
∵，∴，∴，
∴，从而得证
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是合理构造函数，然后利用导数求得函数的最小值为2，再结合的单调性可证得结论，属于较难题
22．(1)，
(2)
【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线的直角坐标方程，利用参数方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线的普通方程；
（2）将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，利用的几何意义可求得的值.
(1)
解：曲线的极坐标方程为即为，
则曲线的直角坐标方程为，
曲线的普通方程为.
(2)
解：易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，
则曲线的参数方程为（为参数），
联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，
，
设点、在直线上对应的参数分别为、，
由韦达定理可得，，
.
23．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据绝对值的性质，结合公式法解绝对值进行求解即可；
（2）运用换元法、基本不等式进行证明即可.
(1)
，
∴要使关于x的不等式有解，只需，
解得，
∴实数m的范围为；
(2)
由（1）知，，由，，，且，
令，，，则，，，且，
，
又当且仅当时取“=”号；
，当且仅当时取“=”号；
∴不等式，即.
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