2022-2023学年高中数学选择性必修2教学课件 3.2.1.1直线的倾斜角与斜率(共34张PPT)

(共34张PPT)
2022-2023学年高中数学选择性必修2教学课件
知识回顾:
我们学过:y=x+1,它表示什么？
如何在平面直角坐标系内确定它的位置
y
1
x
o
-1
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？
x
y
O
l
问题引入
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
x
y
o
l
α
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴的正方向按逆时针绕交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线的倾斜角。
规定：直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
)
180
,
0
[
o
o

a
倾斜角范围
P
知识点2 直线的倾斜角
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
练习：
A
B
C
D
A
特别地，当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°。
直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
坐标平面上任何一条直都有唯一的倾斜角。
倾斜角的取值范围是:
)
180
,
0
[
o
o

a
思考: 日常生活中，还有没有刻画倾斜程度的量？
如图，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量
前进量
A
B
C
D
可理解为：在水平方向移动1km，在铅直方向上升或下降的数值（km），这个比值表示了坡度的大小。刻画了道路等的倾斜程度。
知识点2 斜率
【探究2】我们知道：两点确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，直线l的倾斜角α与P1，P2两点的坐标有什么样的内在联系呢？请用向量法探究下列问题：
(1)已知直线l经过O(0,0)，P(1,1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(1,0)，P2(－1,2)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
（二）倾斜角与斜率
◆(1)直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2 的坐标有如下关系：tan α＝ .
(2)我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝ .
(3)倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，它们的对应关系：

所有的直线都有倾斜角；
不是所有的直线都存在斜率。
正切值
tanα

定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
2、直线的斜率
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度。
即x每增加一个单位，y增加k个单位。
倾斜角
斜率
如何描述这二者的关系呢？
60o
135o
-1
30o
150o
a
k
O
a
tan
=
k
斜率单调递增
斜率单调递增
p
o
y
x
y
p
o
x
p
o
y
x
p
o
y
x
0°＜ ＜ 90°
= 90°
90°＜ ＜180°
= 0°
k=0
k >0
k不存在
k<0
判断正误：
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
斜率. （ ）
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 （ ）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 ( )
②直线的斜率的范围是 （ ）

√




思考1：
C
练习：判断三条直线斜率的大小关系
①
②
③
A.k1C.k3当倾斜角a∈[0°,90°)时，斜率为零和正数，角度越大，斜率越大。
当倾斜角a∈[0°,90°)时，斜率为负数，角度越大，斜率越大。
A
想一想
我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。
问题：
如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢？
如图，当α为锐角时，
锐角
探究新知：由两点确定的直线的斜率
能不能构造一个直角三角形去求？
如图，当α为钝角时，
钝角
x
y
o
(3)
y
o
x
(4)
当 的位置对调时， 值又如何呢
想一想
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点
的直线斜率公式：
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0
对公式的
深入理解
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
答：斜率不存在, 因为分母为0。
对公式的
深入理解
如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？
y
x
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
C
直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
∵
∴直线CA的倾斜角为锐角
∴直线BC的倾斜角为钝角。
解：
∵
∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵
例1
例2:
2、已知三点A(a,２），Ｂ（５，１），Ｃ（－４，２a）在同一直线上，求a的值
1、 求证：A(-2,8) B(3,-2) C(1,2)三点
在同一直线上.
例3:
2、 已知两点A(2,3)、B(3，0)，过点P(-1，0)的直线与线段AB有公共点.求直线的斜率k的取值范围.
若B(-3,1), B(3,-1),则k的取值范围为？
例4:
N(-8,3)
M(2,2)
因为入射角等于反射角
)
0
,
2
(
P
-
\
反射点
(
)
的坐标
求反射点
后过点
轴反射
经过
射出一条光线
从
P
,
)
3
,
8
(
N
x
,
2
,
2
M
-
思考交流
O
x
y
2
2
-2
P
或利用光线性质：
N（-8,3），P（x，0），M1（2，-2）三点共线。
注意：体会分式可能具有几何性质：斜率
糖水加糖糖水变甜了
真分数性质