河北省元氏县第四中学2022学年-2023学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版含答案）

2022-2023学年度第一学期9月份开学摸底考试
高二数学
一．选择题（共8小题）
1．设i是虚数单位，复数，，则z1 z2在复平面上对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝1，PA＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为（　　）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调100人（用分层抽样的方法），则北面共有（　　）人．”
A．7200 B．8100 C．2496 D．2304
4．已知样本数据2，4，6，a的平均数为4，则该样本的标准差是（　　）
A． B． C．2 D．
5．已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（　　）
A．这五位同学年龄的平均数变为19 B．这五位同学年龄的方差变为3.8
C．这五位同学年龄的众数变为19 D．这五位同学年龄的中位数变为19
6．甲投篮球3次，首次投篮命中率为，在投篮过程中，若球被投中，则下次投篮的命中率为，若球未投中，则下次投篮命中率为，则在3次投篮中，恰好投中1次的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若，，，
则＝（　　）
A． B． C． D．
8．若空间四点M、A、B、C共面且，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
二．多选题（共4小题）
9．已知向量＝（2，1），＝（﹣3，1），则（　　）
A． B．与向量共线的单位向量是（，）
C． D．向量在向量上的投影向量是
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项
正确的是（　　）
A．D1C∥平面A1ABB1 B．A1D1与平面BCD1相交
C．AD⊥平面D1DB D．平面BCD1⊥平面A1ABB1
11．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（　　）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
C．甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
12．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（　　）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
三．填空题（共4小题）
13．设复数z＝，则下列命题中正确的是 　 　．（填序号）
①|z|＝； ②＝1﹣i； ③在复平面上对应的点在第一象限；④虚部为2．
14．如图所示，电路原件R1，R2，R3正常工作的概率
分别为，，，则电路能正常工作的概率为 　 　．
15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点都在球O的表面上，且AC＝AA1＝2，则球O的表面积为 　 　．
16．如图，在△ABC中，是BN的中点，
若，则实数m的值是 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．已知复数z＝（m2﹣m）+（m+3）i，m∈R（i为虚数单位）．
（1）当m＝2时，求复数z的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．
（1）求角A的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且 　 　，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；
②AD是△ABC的角平分线；
③BD＝2CD．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，
PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC
的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求三棱锥E﹣ABF的体积．
20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分
的中位数；（保留小数点后一位）
（3）从评分在[40，60）上的受访职工中，随机抽取
2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率．
21．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3．
（1）若A，B互斥，求P（A∪B），P（AB）；
（2）若A，B相互独立，求P（A∪B），P（AB）．
22．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月27日至8月12日在法国巴黎举办，我国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在河北正定国家乒乓球训练基地进行封闭式训练．为了提高训练效果，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜．通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． B．
2． A．
3． A．
4． B．
5．B．
6．D．
7．B．
8．D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9． AC．
（多选）10．AD．
11.BD．
（多选）12． BD．
三．填空题（共4小题）
13．
故答案为：①②③．
14．
故答案为：．
15．
故答案为：8π．
16．
故答案为：
四．解答题（共6小题）
17．
解：（1）由（a+c）（a﹣c）＝b（b+c），得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理知，，
因为0＜A＜π，所以．
（2）选①，因为AD是△ABC的中线，
所以＝（+），
所以||2＝||2+||2+ ＝，
所以．
选②，因为S△ABC＝S△ABD+S△ADC，
所以，
即，
解得．
选③，因为BD＝2CD，
所以，
所以
＝，
故．
18．
解：（1）当m＝2时，z＝2+5i，
故．
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
则，解得0＜m＜1，
故m的取值范围为（0，1）．
19．
解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，F是AC的中点，
∴连接BD，则BD与AC交点即为F点，
∴F也为BD的中点，又E是PB的中点．
∴EF∥PD，又EF 平面PCD，PD 平面PCD，
∴EF∥平面PCD；
（2）∵E，F分别是PB，AC的中点，
∴
＝
＝，
故三棱锥E﹣ABF的体积为．
20．
解：（1）由题意知，（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，
解得a＝0.006．
（2）由于（0.004+0.006+0.022）×10＝0.32，所以中位数为．
（3）由（1）知：50名职工中[40，50）、[50，60）分别有2人、3人，
若[40，50）为职工A、B，[50，60）为职工1、2、3，
所以随机抽取2人的可能组合有{A，B}、{A，1}、{A，2}、{A，3}、{B，1}、{B，2}、{B，3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}共10种，
其中2人的评分都在[40，50）有{A，B}，即1种，
所以2人的评分都在[40，50）的概率为．
21．
解：（1）P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，
若A，B互斥，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.5+0.3＝0.8，
P（AB）＝0；
（2）若A，B相互独立，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.3﹣0.5×0.3＝0.65，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.3＝0.15．
22．
解：（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为；
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，
∴
＝，
＝，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．