天津市和平区第二十一中学高二年级平面向量测试【无答案】
文档属性
| 名称 | 天津市和平区第二十一中学高二年级平面向量测试【无答案】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 56.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-08 20:47:25 | ||
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文档简介
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天津市和平区第二十一中学
高二年级 2012-2013学年第一学期
平面向量测试题
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：（每题5分，共55分）
1、在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x) ，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2、已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4、对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
5、如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
6、设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
7、在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为( )
A. B.
C. D.
8、已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( )
A．e1在e2方向上的射影数量为cosθ
B．e＝e
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．e1·e2＝1
9、半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是( )
A．－2 B．－1 C．2 D．无法确定，与C点位置有关
10、已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5 N B．510N
C．5N D．5 N
11、在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
二、填空题：（每题4分，共20分）
12、在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
13、如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．
14、如图，平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .[21世纪教育网666
wxc]
15、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
16、已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
三、解答题：
17、（12分）设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
18、（13分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
19、（15分）已知向量 = (cos x,sin x)， = (－cos x,cos x)， = (－1,0)
(Ⅰ)若 x = ，求向量 、 的夹角；
(Ⅱ)当 x∈[,]时，求函数 f (x) = 2· + 1 的最大值。
20、（15分）如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
21、（20分）已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.
参考答案：
一、选择题：
DDBBD DBDACA
二、填空题：
12、 [2,5] 13、 2 14、6 15、1
16、
三、解答题：
17、 (1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，
故a＋b与a－b垂直．
(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则(－)×cosα＋×sinα＝0，
即cos(α＋60°)＝0，
∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.
18、(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
因为0－所以－≤－sin(2A－)<，
所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.
19、解：(I) 当 x = 时，cos =
= 考%资(源#网 wxc
= －cos x = －cos = cos
∵ 0≤≤， ∴ =
(II) f (x) = 2a·b + 1 = 2 (－cos 2 x + sin x cos x) + 1 = 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1)
= sin 2x－cos 2x = sin (2x－)
∵ x∈[,]，
∴ 2x－∈[,2]，
故 sin (2x－)∈[－1,]
∴ 当 2x－= ，即 x = 时，f (x)max = 1
20、 ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.
同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.
21、解：∵＝－＝－a，
＝－＝－b，
又3＋4＋5CP―→＝0，
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b.
设＝t (t∈R)，
则＝t a＋t b．①
又设＝k (k∈R)，
由＝－＝b－a，得
＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得解得t＝.
代入①，有＝a＋b.
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天津市和平区第二十一中学
高二年级 2012-2013学年第一学期
平面向量测试题
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：（每题5分，共55分）
1、在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x) ，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2、已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4、对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
5、如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
6、设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a，b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
7、在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为( )
A. B.
C. D.
8、已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( )
A．e1在e2方向上的射影数量为cosθ
B．e＝e
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．e1·e2＝1
9、半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(＋)·的值是( )
A．－2 B．－1 C．2 D．无法确定，与C点位置有关
10、已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5 N B．510N
C．5N D．5 N
11、在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)
二、填空题：（每题4分，共20分）
12、在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
13、如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．
14、如图，平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .[21世纪教育网666
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15、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
16、已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．
三、解答题：
17、（12分）设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
18、（13分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
19、（15分）已知向量 = (cos x,sin x)， = (－cos x,cos x)， = (－1,0)
(Ⅰ)若 x = ，求向量 、 的夹角；
(Ⅱ)当 x∈[,]时，求函数 f (x) = 2· + 1 的最大值。
20、（15分）如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
21、（20分）已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0.延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.
参考答案：
一、选择题：
DDBBD DBDACA
二、填空题：
12、 [2,5] 13、 2 14、6 15、1
16、
三、解答题：
17、 (1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，
故a＋b与a－b垂直．
(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则(－)×cosα＋×sinα＝0，
即cos(α＋60°)＝0，
∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.
18、(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
因为0
所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.
19、解：(I) 当 x = 时，cos
= 考%资(源#网 wxc
= －cos x = －cos = cos
∵ 0≤
(II) f (x) = 2a·b + 1 = 2 (－cos 2 x + sin x cos x) + 1 = 2 sin x cos x－(2cos 2 x－1)
= sin 2x－cos 2x = sin (2x－)
∵ x∈[,]，
∴ 2x－∈[,2]，
故 sin (2x－)∈[－1,]
∴ 当 2x－= ，即 x = 时，f (x)max = 1
20、 ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.
同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.
21、解：∵＝－＝－a，
＝－＝－b，
又3＋4＋5CP―→＝0，
∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，
化简，得＝a＋b.
设＝t (t∈R)，
则＝t a＋t b．①
又设＝k (k∈R)，
由＝－＝b－a，得
＝k(b－a)．而＝＋＝a＋，
∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.②
由①②，得解得t＝.
代入①，有＝a＋b.
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