11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件（38页PPT）
文档属性
| 名称 | 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件（38页PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-06 21:45:17 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
11.1.2三角形的高、中线
与角平分线
人教版八年级上册
第十一章 三角形
教学目标
1．三角形的高、中线与角平分线的概念。
2．三角形的高、中线与角平分线的画法。
新知导入
课前回顾
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
新知导入
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
新知讲解
一、三角形的高
1、定义：从三角形的一个顶点向它的 所在的直线做垂线， 和 之
间的 叫做三角形的高。
如图，在△ABC 中，AD⊥BC ，点D是垂足
则 是△ABC的边BC上的高
此时：_________________________
A
B
C
D
对边
顶点
垂足
线段
AD
∠ADB = ∠ADC = 90°
新知讲解
2、每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高。
如图，画出三角形的高。
由图可知，三角形的三条高，相交于同一个点。
3
3
新知讲解
对于任意三角形，是否也满足
“三条高相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察三条高是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
新知讲解
（1）锐角三角形
O
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AC边上的高为
AB边上的高为
AD
BE
CF
②锐角三角形的三条高（线段AD、BE、CF） ，
且
相交于一点
该点位于三角形的内部
新知讲解
（2）直角三角形
A
B
C
D
●
①AC边上的高为
直角边AB上的高为
直角边BC上的高为
BD
CB
AB
②直角三角形的三条高 。
相交于直角顶点
新知讲解
（3）钝角三角形
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AB边上的高为
AC边上的高为
AD
CE
BF
②直角三角形的三条高 。
不相交于一点
那三条高所在的直线是否会相交于一点呢？
新知讲解
A
B
C
D
F
O
E
分别延长AD、FB、CE，可得线段AD、
FB、CE所在的直线 。
相交于一点
③钝角三角形的三条高（线段AD、BE、CF）
，但三条高所在的直线 。
且 。
不相交于一点
相交于一点
该交点位于三角形的外部
新知讲解
教 师 点 拨
（1）每一个三角形中都含有 条高，且三条高所在的直线 。
（2）锐角三角形的三条高线相交于三角形的 。
（3）直角三角形的三条高线相交于三角形的 。
（4）钝角三角形的三条高线相交于三角形的 。
3
相交于一点
内部
直角顶点
外部
新知讲解
二、三角形的中线
1、定义：在三角形中，连接一个 与它 的 线段，叫做这个三角形的中线。
顶点
对边中点
如图，在△ABC 中，E是BC的中点
则 是BC边上的中线，
此时：______________________
B
A
C
A
E
AE
BE=CE
如图，在△ABC 中，AE是BC边上的中线
则E是BC的 ，
此时：______________________
中点
BE=CE
新知讲解
2、每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线。
3
3
如图，画出三角形的中线
由图可知，三角形的三条中线，相交于同一个点。
新知讲解
对于任意三角形，是否也满足
“三条高相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察三条高是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
新知讲解
教师总结
三角形的三条中线 ，且 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 。
重心
新知讲解
三、三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角的
与 之间的线段，叫做三角形的角平分线。
平分线
对边
顶点
交点
如图，在△ABC 中，∠1=∠2
则 是∠A的角平分线
1
2
A
B
C
D
AD
如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线
则___________
∠1=∠2
新知讲解
2、每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线。
3
3
如图，画出下列三角形的中线
新知讲解
教师总结
三角形的三条角平分线 ，且 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形的角平分线是一条 。
线段
课堂练习
1、（2022春 泗县期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（ ）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
【解析】A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．
C
课堂练习
2、（2022春 亭湖区校级期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm
C．5cm D．4cm
【解析】∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm
∴BM= AB＝5cm
故答案选C
C
课堂练习
3、（2021秋 富裕县期末）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．线段AD
B．线段BE
C．线段BF
D．线段CF
【解析】∵点B到AC边的垂线段是BE
∴AC边上的高是BE
故答案选B
B
课堂练习
4、（2021秋 高青县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
课堂练习
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝ ∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误
综上，故答案选C。
课堂练习
5、（2021春 嵩县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 。
【解析】∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差
=(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)
=AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2
2
课堂练习
6、（2020秋 虹口区校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，BC边上的高AD和中线AE及∠BAC的平分线AF将∠BAC四等分，则∠EAD＝ 。
【解析】∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADF＝90°
又∠FAD＝∠CAD，AD＝AD
∴△ADC≌△ADF（ASA）
∴AF＝AC，FD＝DC
∵∠BAE＝∠FAE
∴
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∴
∴ =
∴
∴FC2＝2EF2
又FC＝2FD
∴EF2＝2FD2
即
∵∠EAF=∠ DAF
∴
∴
在Rt△AFD中
DE2＝AE2﹣AD2＝2AD2﹣AD2＝AD2
∵DE＝AD
∴△ADF是等腰直角三角形
∴∠EAD＝45°
45°
课堂练习
7、（2021秋 无棣县期中）若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 。
【解析】如图
∵BD＝3，CD＝1
∴BC＝BD﹣CD＝2
又∵AD是BC边上的高，AD＝2
∴△ABC的面积＝ BC AD＝ ×2×2＝2
2
课堂练习
8、如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长。
【解析】如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E
∵ BC AE＝ AC BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3
∴ ×4AE＝ ×8×3
解得 AE＝6
∴AE的长为6
课堂练习
9、如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长（AC＜AB）。
【解析】∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵△ABD和△ADC的周长差是4cm
∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD
＝AB﹣AC
＝4cm
∵AB＝12cm
∴AC＝AB﹣4cm＝8cm
∴△ABC的边AC的长为8cm
课堂总结
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°
∵ AD是△ABC的BC上的中线
∴ BD=CD= BC
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
作业布置
1、（2021秋 江油市期末）有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解析】有两条高在三角形外部的是钝角三角形，故答案选C。
C
作业布置
2、（2020春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高。
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；
②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；
③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；
④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确。
综上所述，正确的是①②③④共4个，故答案选D。
D
作业布置
3、（2021秋 越秀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 。
【解析】∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长
＝(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+CD)
＝AB﹣AC
＝3
即AB﹣AC＝3①
又AB+AC＝13②
①+②得2AB＝16
解得 AB＝8
8
作业布置
4、（2020秋 仓山区期中）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则 =_______。
【解析】∵△ABC中，AD为中线
∴BD＝DC
∴S△ABD＝S△ADC
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4
∴ AB ED＝ AC DF
∴ ×6×ED＝ ×4×DF
∴
作业布置
5、（2020春 海淀区校级期末）已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 。
【解析】∵BD是△ABC的中线
∴AD＝CD
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11
11
作业布置
6、（2021秋 河口县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。
【解析】∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD
设AD＝CD＝x，则AB＝2x
当x+2x＝12，解得x＝4
BC+x＝15，解得BC＝11
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7
作业布置
7、（2020秋 饶平县校级期末）如图，△ABC中，AD是高，
AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数。
【解析】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
作业布置
8、（2020秋 乐陵市期中）如图，在△ABC中∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数。
【解析】∵∠B＝30°，∠ACB＝110°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣110°＝40°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×40°＝20°
∵∠B＝30°，AD是BC边上高线
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣20°＝40°
∴∠DAE的度数为40°
谢谢
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11.1.2三角形的高、中线
与角平分线
人教版八年级上册
第十一章 三角形
教学目标
1．三角形的高、中线与角平分线的概念。
2．三角形的高、中线与角平分线的画法。
新知导入
课前回顾
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
新知导入
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
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放、
靠、
过、
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画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
新知讲解
一、三角形的高
1、定义：从三角形的一个顶点向它的 所在的直线做垂线， 和 之
间的 叫做三角形的高。
如图，在△ABC 中，AD⊥BC ，点D是垂足
则 是△ABC的边BC上的高
此时：_________________________
A
B
C
D
对边
顶点
垂足
线段
AD
∠ADB = ∠ADC = 90°
新知讲解
2、每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高。
如图，画出三角形的高。
由图可知，三角形的三条高，相交于同一个点。
3
3
新知讲解
对于任意三角形，是否也满足
“三条高相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察三条高是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
新知讲解
（1）锐角三角形
O
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AC边上的高为
AB边上的高为
AD
BE
CF
②锐角三角形的三条高（线段AD、BE、CF） ，
且
相交于一点
该点位于三角形的内部
新知讲解
（2）直角三角形
A
B
C
D
●
①AC边上的高为
直角边AB上的高为
直角边BC上的高为
BD
CB
AB
②直角三角形的三条高 。
相交于直角顶点
新知讲解
（3）钝角三角形
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AB边上的高为
AC边上的高为
AD
CE
BF
②直角三角形的三条高 。
不相交于一点
那三条高所在的直线是否会相交于一点呢？
新知讲解
A
B
C
D
F
O
E
分别延长AD、FB、CE，可得线段AD、
FB、CE所在的直线 。
相交于一点
③钝角三角形的三条高（线段AD、BE、CF）
，但三条高所在的直线 。
且 。
不相交于一点
相交于一点
该交点位于三角形的外部
新知讲解
教 师 点 拨
（1）每一个三角形中都含有 条高，且三条高所在的直线 。
（2）锐角三角形的三条高线相交于三角形的 。
（3）直角三角形的三条高线相交于三角形的 。
（4）钝角三角形的三条高线相交于三角形的 。
3
相交于一点
内部
直角顶点
外部
新知讲解
二、三角形的中线
1、定义：在三角形中，连接一个 与它 的 线段，叫做这个三角形的中线。
顶点
对边中点
如图，在△ABC 中，E是BC的中点
则 是BC边上的中线，
此时：______________________
B
A
C
A
E
AE
BE=CE
如图，在△ABC 中，AE是BC边上的中线
则E是BC的 ，
此时：______________________
中点
BE=CE
新知讲解
2、每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线。
3
3
如图，画出三角形的中线
由图可知，三角形的三条中线，相交于同一个点。
新知讲解
对于任意三角形，是否也满足
“三条高相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察三条高是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
新知讲解
教师总结
三角形的三条中线 ，且 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 。
重心
新知讲解
三、三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角的
与 之间的线段，叫做三角形的角平分线。
平分线
对边
顶点
交点
如图，在△ABC 中，∠1=∠2
则 是∠A的角平分线
1
2
A
B
C
D
AD
如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线
则___________
∠1=∠2
新知讲解
2、每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线。
3
3
如图，画出下列三角形的中线
新知讲解
教师总结
三角形的三条角平分线 ，且 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形的角平分线是一条 。
线段
课堂练习
1、（2022春 泗县期中）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（ ）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
【解析】A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．
C
课堂练习
2、（2022春 亭湖区校级期中）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（ ）
A．7cm B．6cm
C．5cm D．4cm
【解析】∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm
∴BM= AB＝5cm
故答案选C
C
课堂练习
3、（2021秋 富裕县期末）如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．线段AD
B．线段BE
C．线段BF
D．线段CF
【解析】∵点B到AC边的垂线段是BE
∴AC边上的高是BE
故答案选B
B
课堂练习
4、（2021秋 高青县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
课堂练习
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝ ∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误
综上，故答案选C。
课堂练习
5、（2021春 嵩县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 。
【解析】∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差
=(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)
=AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2
2
课堂练习
6、（2020秋 虹口区校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，BC边上的高AD和中线AE及∠BAC的平分线AF将∠BAC四等分，则∠EAD＝ 。
【解析】∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADF＝90°
又∠FAD＝∠CAD，AD＝AD
∴△ADC≌△ADF（ASA）
∴AF＝AC，FD＝DC
∵∠BAE＝∠FAE
∴
∵AF平分∠BAC
∴
∴
∴
∴ =
∴
∴FC2＝2EF2
又FC＝2FD
∴EF2＝2FD2
即
∵∠EAF=∠ DAF
∴
∴
在Rt△AFD中
DE2＝AE2﹣AD2＝2AD2﹣AD2＝AD2
∵DE＝AD
∴△ADF是等腰直角三角形
∴∠EAD＝45°
45°
课堂练习
7、（2021秋 无棣县期中）若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 。
【解析】如图
∵BD＝3，CD＝1
∴BC＝BD﹣CD＝2
又∵AD是BC边上的高，AD＝2
∴△ABC的面积＝ BC AD＝ ×2×2＝2
2
课堂练习
8、如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长。
【解析】如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E
∵ BC AE＝ AC BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3
∴ ×4AE＝ ×8×3
解得 AE＝6
∴AE的长为6
课堂练习
9、如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长（AC＜AB）。
【解析】∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵△ABD和△ADC的周长差是4cm
∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD
＝AB﹣AC
＝4cm
∵AB＝12cm
∴AC＝AB﹣4cm＝8cm
∴△ABC的边AC的长为8cm
课堂总结
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°
∵ AD是△ABC的BC上的中线
∴ BD=CD= BC
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
作业布置
1、（2021秋 江油市期末）有两条高在三角形外部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解析】有两条高在三角形外部的是钝角三角形，故答案选C。
C
作业布置
2、（2020春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长； ②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高； ④线段CD是△BCD边BD上的高。
上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①、根据两点间的距离的定义得出：点A与点B的距离是线段AB的长，∴①正确；
②、点A到直线CD的距离是线段AD的长，∴②正确；
③、根据三角形的高的定义，△ABC边AB上的高是线段CD，∴③正确；
④、根据三角形的高的定义，△DBC边BD上的高是线段CD，∴④正确。
综上所述，正确的是①②③④共4个，故答案选D。
D
作业布置
3、（2021秋 越秀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 。
【解析】∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长
＝(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+CD)
＝AB﹣AC
＝3
即AB﹣AC＝3①
又AB+AC＝13②
①+②得2AB＝16
解得 AB＝8
8
作业布置
4、（2020秋 仓山区期中）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则 =_______。
【解析】∵△ABC中，AD为中线
∴BD＝DC
∴S△ABD＝S△ADC
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4
∴ AB ED＝ AC DF
∴ ×6×ED＝ ×4×DF
∴
作业布置
5、（2020春 海淀区校级期末）已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 。
【解析】∵BD是△ABC的中线
∴AD＝CD
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11
11
作业布置
6、（2021秋 河口县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。
【解析】∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD
设AD＝CD＝x，则AB＝2x
当x+2x＝12，解得x＝4
BC+x＝15，解得BC＝11
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7
作业布置
7、（2020秋 饶平县校级期末）如图，△ABC中，AD是高，
AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，
求∠DAE和∠BOA的度数。
【解析】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°
又∵AD是高
∴∠ADC＝90°
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°
∵AE、BF是角平分线
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°
∴∠DAE＝5°，∠BOA＝120°
作业布置
8、（2020秋 乐陵市期中）如图，在△ABC中∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数。
【解析】∵∠B＝30°，∠ACB＝110°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣110°＝40°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×40°＝20°
∵∠B＝30°，AD是BC边上高线
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣20°＝40°
∴∠DAE的度数为40°
谢谢
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