人教A版（2019） 必修一 5.5 两角和与差的正弦、余弦公式

人教A版（2019） 必修一 5.5 两角和与差的正弦、余弦公式
一、单选题
1．（2020高三上·蚌埠期中）已知 ， ， 均为锐角，则角 等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·莆田月考） 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高三上·顺德月考）已知 ， 为第三象限角，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·东莞开学考）若 ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·湖州期末）已知 为锐角，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·丽水期末）已知 ， ， ，且 ，则 的值（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·湖北月考）已知函数 在 内有且仅有3个零点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·故城期中）若A是三角形 中的最小内角，则 的取值范围是
A． B． C． D．
9．（2020·威海模拟）已知 ， 为第三象限角，则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·六安期末）已知 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D． 或
11．（2020高一上·六安期末）已知函数 是 上的奇函数，则 （　　）
A． B． C． D．
12．（2019高三上·镇海期中）已知 ， ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
13．（2019高三上·鹤岗月考） （　　）
A． B． C． D．
14．（2019高二下·梧州期末）已知 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
15．（2019高一下·上海月考）下列三个命题：①存在实数 ，使得 成立；②存在实数 ，使 成立；③若 ，则 .其中正确命题是（　　）
A．①和② B．②和③ C．仅有② D．仅有③
二、填空题
16．（2020高三上·通榆期中）若 ， ，则 　 　.
17．（2020高一上·合肥期末）若 ， ， ， ，则 　 　.
三、解答题
18．（2020高三上·朝阳期中）已知函数
（1）求 及f(x)的最小正周期；
（2）若 求f(x)的值域.
19．（2020高二上·安徽月考）已知 都是锐角，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．（2020高三上·开鲁月考）在 中，三个内角分别为 ，已知 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 ，求 .
21．（2020高三上·扬州月考）已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值．
22．（2020高二上·毕节月考）已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求 的递增区间.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为 均为锐角，所以 .
又 ，所以 .又 ，所以 .
所以
= .
所以 .
故答案为：C.
【分析】由同角三角函数的平方关系和 的范围求出 和 ，再利用正弦两角差公式求出 ，从而确定出 的值.
2．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用两角和与差的正弦公式直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为 为第三象限角，所以 ，
所以 ，
，
故答案为：D
【分析】先由 ，可求出 ，再由同角三角函数的关系可求出 ，然后把 利用两角和的余弦公式展开可得结果.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用两角差的余弦公式可得 ，由此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵cos（α ） （α为锐角），
∴α 为锐角，
∴sin（α ） ，
∴sinα＝sin[（α ） ]＝sin（α ）cos cos（α ）sin
，
故答案为：B．
【分析】由条件求得sin（α ） ，再根据sinα＝sin[（α ） ]利用两角和的正弦公式求得结果．
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，
，
因为
，又 ，所以
故答案为：B
【分析】先根据同角三角函数平方关系求 ，再根据两角和正弦公式求得 ，即得 的值.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象
【解析】【解答】
当 时，
在 有且仅有3个零点，结合正弦函数图象可知，
解得：
故答案为：A.
【分析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为 ，由 ，得 ，结合正弦函数的图象求得 的范围，从而求得 的范围.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为A是三角形 中的最小内角，所以 ,
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】先根据三角形最小内角得A范围，再根据辅助角公式化简 ，最后根据正弦函数性质求结果.
9．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，即 ，
由 为第三象限角知， ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】由两角差的正弦公式化简可得 ，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.
10．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
，
，
则
故答案为：C
【分析】由平方关系得出 ， 的值，求出 ，根据 的范围得出 .
11．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
因为函数 是 上的奇函数，所以
即 ，则
故答案为：C
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合 得出 ，即可得出 的值.
12．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】将两个等式两边平方可得 ，
两式相加可得 ，所以 ，
， ，即 ，
代入 ，得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为 ，
再根据 得出 ，代入 即可求解.
13．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
．
故答案为：C．
【分析】由已知利用两角和的正弦公式变形整理，即可化简求值.
14．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A.
【分析】利用两角和与差的余弦公式，展开计算即可得结果.
15．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】命题①中，若 ，则 ，即 ，所以错误；命题②中，若 ，则 ，即 ，所以错误；
命题③中， ，而 ，
所以可得 ，或者
这两种情况都可以得到
所以 ，所以正确.
故答案为：D.
【分析】由二倍角公式的逆用判断命题①是否正确，由辅助角公式判断命题②是否正确，由三角函数的范围，得到 和 的值，从而得到 和 的值，由两角和的正弦公式，判断命题③是否正确，从而得到答案.
16．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 。
【分析】利用两角差和两角和的余弦公式结合已知条件，再利用解方程组的方法求出的值。
17．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
同理可得： ，
故
.
故答案为： .
【分析】由于 ，利用两角和差公式可求出 的值.
18．【答案】（1）解： ，
∴ ，最小正周期为
（2）解： 时， ， ，∴ ．
值域为 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后可得函数值及周期．（2）结合正弦函数性质可得值域．
19．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
利用同角三角函数的基本关系可得 ，且 ，
解得
（2）解：由（1）可得， .
因为 为锐角， ，所以 .
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）因为 都是锐角，而 ，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.
20．【答案】（1）解：因为 ，得 ，即 ，因为 ，且 ，所以 ，所以
（2）解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得 ，可求角；（2）由已知及（1）可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，利用 ，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
21．【答案】（1）解：
（2）解：∵ 是第三象限角，
∴ ， ，
∴ ， ，
又 ，所以 ， ，
所以
故
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式即可化简；（2）先判断出 的范围，再计算出 ，根据 展开即可求出.
22．【答案】（1）解：
，
所以函数 的最小正周期为
（2）解：令 ，解得 ，
所以 的递增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简函数解析式为 ，代入周期计算公式即可得解；（2）根据正弦函数的单调性令 ，解不等式即可求得 的递增区间.
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一、单选题
1．（2020高三上·蚌埠期中）已知 ， ， 均为锐角，则角 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为 均为锐角，所以 .
又 ，所以 .又 ，所以 .
所以
= .
所以 .
故答案为：C.
【分析】由同角三角函数的平方关系和 的范围求出 和 ，再利用正弦两角差公式求出 ，从而确定出 的值.
2．（2020高二上·莆田月考） 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用两角和与差的正弦公式直接求解即可.
3．（2020高三上·顺德月考）已知 ， 为第三象限角，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
因为 为第三象限角，所以 ，
所以 ，
，
故答案为：D
【分析】先由 ，可求出 ，再由同角三角函数的关系可求出 ，然后把 利用两角和的余弦公式展开可得结果.
4．（2020高二上·东莞开学考）若 ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用两角差的余弦公式可得 ，由此可得答案.
5．（2020高二下·湖州期末）已知 为锐角，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：∵cos（α ） （α为锐角），
∴α 为锐角，
∴sin（α ） ，
∴sinα＝sin[（α ） ]＝sin（α ）cos cos（α ）sin
，
故答案为：B．
【分析】由条件求得sin（α ） ，再根据sinα＝sin[（α ） ]利用两角和的正弦公式求得结果．
6．（2020高一下·丽水期末）已知 ， ， ，且 ，则 的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ；
因为 ， ，所以 ，
，
因为
，又 ，所以
故答案为：B
【分析】先根据同角三角函数平方关系求 ，再根据两角和正弦公式求得 ，即得 的值.
7．（2020高三上·湖北月考）已知函数 在 内有且仅有3个零点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象
【解析】【解答】
当 时，
在 有且仅有3个零点，结合正弦函数图象可知，
解得：
故答案为：A.
【分析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为 ，由 ，得 ，结合正弦函数的图象求得 的范围，从而求得 的范围.
8．（2020高一下·故城期中）若A是三角形 中的最小内角，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为A是三角形 中的最小内角，所以 ,
因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】先根据三角形最小内角得A范围，再根据辅助角公式化简 ，最后根据正弦函数性质求结果.
9．（2020·威海模拟）已知 ， 为第三象限角，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，即 ，
由 为第三象限角知， ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】由两角差的正弦公式化简可得 ，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.
10．（2020高一上·六安期末）已知 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
，
，
则
故答案为：C
【分析】由平方关系得出 ， 的值，求出 ，根据 的范围得出 .
11．（2020高一上·六安期末）已知函数 是 上的奇函数，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】
因为函数 是 上的奇函数，所以
即 ，则
故答案为：C
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合 得出 ，即可得出 的值.
12．（2019高三上·镇海期中）已知 ， ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】将两个等式两边平方可得 ，
两式相加可得 ，所以 ，
， ，即 ，
代入 ，得 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为 ，
再根据 得出 ，代入 即可求解.
13．（2019高三上·鹤岗月考） （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】
．
故答案为：C．
【分析】由已知利用两角和的正弦公式变形整理，即可化简求值.
14．（2019高二下·梧州期末）已知 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A.
【分析】利用两角和与差的余弦公式，展开计算即可得结果.
15．（2019高一下·上海月考）下列三个命题：①存在实数 ，使得 成立；②存在实数 ，使 成立；③若 ，则 .其中正确命题是（　　）
A．①和② B．②和③ C．仅有② D．仅有③
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】命题①中，若 ，则 ，即 ，所以错误；命题②中，若 ，则 ，即 ，所以错误；
命题③中， ，而 ，
所以可得 ，或者
这两种情况都可以得到
所以 ，所以正确.
故答案为：D.
【分析】由二倍角公式的逆用判断命题①是否正确，由辅助角公式判断命题②是否正确，由三角函数的范围，得到 和 的值，从而得到 和 的值，由两角和的正弦公式，判断命题③是否正确，从而得到答案.
二、填空题
16．（2020高三上·通榆期中）若 ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 。
【分析】利用两角差和两角和的余弦公式结合已知条件，再利用解方程组的方法求出的值。
17．（2020高一上·合肥期末）若 ， ， ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
同理可得： ，
故
.
故答案为： .
【分析】由于 ，利用两角和差公式可求出 的值.
三、解答题
18．（2020高三上·朝阳期中）已知函数
（1）求 及f(x)的最小正周期；
（2）若 求f(x)的值域.
【答案】（1）解： ，
∴ ，最小正周期为
（2）解： 时， ， ，∴ ．
值域为 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后可得函数值及周期．（2）结合正弦函数性质可得值域．
19．（2020高二上·安徽月考）已知 都是锐角，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
利用同角三角函数的基本关系可得 ，且 ，
解得
（2）解：由（1）可得， .
因为 为锐角， ，所以 .
所以
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）因为 都是锐角，而 ，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.
20．（2020高三上·开鲁月考）在 中，三个内角分别为 ，已知 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 ，求 .
【答案】（1）解：因为 ，得 ，即 ，因为 ，且 ，所以 ，所以
（2）解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得 ，可求角；（2）由已知及（1）可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，利用 ，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
21．（2020高三上·扬州月考）已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵ 是第三象限角，
∴ ， ，
∴ ， ，
又 ，所以 ， ，
所以
故
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式即可化简；（2）先判断出 的范围，再计算出 ，根据 展开即可求出.
22．（2020高二上·毕节月考）已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求 的递增区间.
【答案】（1）解：
，
所以函数 的最小正周期为
（2）解：令 ，解得 ，
所以 的递增区间为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简函数解析式为 ，代入周期计算公式即可得解；（2）根据正弦函数的单调性令 ，解不等式即可求得 的递增区间.
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