初中数学华师大版九年级下学期 第27章 27.3 圆中的计算问题
一、单选题
1．（2021九上·嘉兴期末）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
2．（2020九上·泰兴月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AC.
由题意得 ，
∵∠EAF=45°，AE=AF=AC= ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的值，根据网格图的特征可得∠EAF=45°，然后根据弧长公式l=计算即可求解.
3．（2020九上·芜湖月考）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开，所得扇形的圆心角为120°，则该扇形面积是（ ）.
A．4π B．8π C．12π D．16π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 该扇形面积=
故答案为：C.
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径是母线，直接利用扇形的面积公式计算即可.
4．（2020九上·江城月考）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'、B'、C的位置。若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．10 πcm C．15πcm D．20π
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC=7.5cm
∴AC=15cm
∴=10π
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的运动轨迹，利用弧长公式求出答案即可。
5．（2020九上·广州期中）如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴ = =4π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
6．（2020九上·兰山期中）如图，在平行四边形 中， ，点 ， 在 上，点 在 上， ，则 的度数为（ ）
A．112.5° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】延长DO交AB于点H，连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴OD是 的角平分线，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】延长DO交AB于点H，连接OB，证明 ，OD是 的角平分线，求得 ，进行求解即可；
二、填空题
7．（2021九上·商城期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 .
【答案】6
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得2π×2= ，
解得 l=6，
即该圆锥母线l的长为6.
故答案为：6.
【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此解答即可.
8．（2021九上·仙居期末）如图，一把折扇展开后的圆心角为120°，扇骨 长为 ，扇面宽 ，则该折扇的扇面的面积 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：OB=OA-AB=30cm-18cm=12cm，
扇形的面积S cm2，
故答案为： .
【分析】S扇形=，观察图形得S阴影=以OA为半径的扇形面积-以OB为半径的扇形面积可求解.
9．（2021九上·朝阳期末）如图，小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，用它们恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为 .
【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长等于底面圆的周长得出2π.
设圆的半径是r，则 ＝2π，
解得：r＝3.
故答案为：3.
【分析】设圆的半径是r，由题意可得相等关系：扇形的弧长=底面圆的周长，根据相等关系列关于r的方程可求解.
10．（2020九上·苏州期中）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 .
【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积S=πrl=π×10×6=60π.
故答案为：60π.
【分析】利用圆锥的侧面积S=πrl进行计算即得.
三、综合题
11．（2020九上·芜湖月考）如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积.
【答案】解：∵∠C=90°，AC=4 ，BC=3，∴AB=5
若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·BC·AB=15π
若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·AC·AB=20π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，然后利用圆锥的表面积公式分别减计算即可.
12．（2021九上·舞阳期末）如图，点 为 斜边 上的一点，以 为半径的 与 切于点 ，连接 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）
【答案】（1）证明：连接 ，
∵ 与 切于点 ，∴ ，
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ 平分 .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∵ ，∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质可得∠ODB=90°，结合已知可得∠ODB=∠C，根据平行线的判定可得AC∥OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的平行线可得∠BOD=∠BAC，根据直角三角形两锐角互余可求得∠B=30°，在直角三角形BOD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OB=2OD，然后用勾股定理可求得BD的长，于是S△BOD=BD×OD可求得三角形BOD的面积，再根据S阴影=S△BOD-S扇形可求解.
13．（2021九上·甘井子期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E.
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接OD.
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，
∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
答：BC的长为4
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠ODA＝∠CAD，由平行线的判定可得AE∥OD，结合已知可得ED⊥DO，根据圆的切线的判定可求解；
（2）过点O作OK⊥AC，结合已知根据三个角是直角的四边形是矩形，则EK＝OD，由线段的构成AK＝CK＝EK﹣CE可求得AK的值，则AC=2AK，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，用勾股定理可求解.
14．（2020九上·杭州月考）如图所示， 内接于 的平分线交 于D，连结 .过B作 的切线交 的延长线于E.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
（3）若 的长是一元二次方程 的两根，若 ，直接写出 及 的长.
【答案】（1）证明： 为 的角平分线，
，
∴∠DAC=∠DCA
.
（2）解：连接 并延长交 于点F，连接 ，则 为直径，即 ，
又 为 切线，
，即 ，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
即 ，
（负值舍去）.
（3）解： ，
，
，
又 ，
，
又 ，
∴由勾股定理： ，
过A作 交 于H，
，
，
，
又 ，
，
在 中，
由勾股定理： ，
.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）BD为∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，由圆周角定理可求解；
（2）由题意易得△EBC∽△EAB，于是可得比例式，即BE2＝AE EC＝（EC＋AC） EC，即可求解；
（3） 过A作 交 于H，由勾股定理可求得AC的值，根据AH＝AB sin45°可求得AH的值，在Rt△AHD中，由勾股定理求出DH的值，然后根据BD=BH+DH可求解．
15．（2020九上·厦门期中）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．
【答案】（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥DF，
∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，
∴∠BDF＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠BDF，
∵D是弧BC的中点，
∴∠COD＝∠OAD，
∴∠CAB＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于H，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BH，
∴OH为△ABC的中位线，
∴ ，
∴HD＝2.5－1.5＝1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形DHCE为矩形，
∴CE＝DH＝1．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；（2）连接BC交OD于H，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，则CH=BH，于是可判断OH为△ABC的中位线，所以OH=1.5，则HD=1，然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=1．
1 / 1初中数学华师大版九年级下学期 第27章 27.3 圆中的计算问题
一、单选题
1．（2021九上·嘉兴期末）若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A．π B． 2π C． 3π D．4π
2．（2020九上·泰兴月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·芜湖月考）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开，所得扇形的圆心角为120°，则该扇形面积是（ ）.
A．4π B．8π C．12π D．16π
4．（2020九上·江城月考）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'、B'、C的位置。若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．10 πcm C．15πcm D．20π
5．（2020九上·广州期中）如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·兰山期中）如图，在平行四边形 中， ，点 ， 在 上，点 在 上， ，则 的度数为（ ）
A．112.5° B．120° C．135° D．150°
二、填空题
7．（2021九上·商城期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l的长为 .
8．（2021九上·仙居期末）如图，一把折扇展开后的圆心角为120°，扇骨 长为 ，扇面宽 ，则该折扇的扇面的面积 .
9．（2021九上·朝阳期末）如图，小明从纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，用它们恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1，扇形的圆心角为120°，则此扇形的半径为 .
10．（2020九上·苏州期中）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 .
三、综合题
11．（2020九上·芜湖月考）如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积.
12．（2021九上·舞阳期末）如图，点 为 斜边 上的一点，以 为半径的 与 切于点 ，连接 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）
13．（2021九上·甘井子期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E.
（1）证明：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝2，求BC的长.
14．（2020九上·杭州月考）如图所示， 内接于 的平分线交 于D，连结 .过B作 的切线交 的延长线于E.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
（3）若 的长是一元二次方程 的两根，若 ，直接写出 及 的长.
15．（2020九上·厦门期中）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°。
∴此扇形的弧长是.
故答案为：A.
【分析】利用扇形的弧长公式：，再将n=60°，R=3代入计算可求解。
2．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接AC.
由题意得 ，
∵∠EAF=45°，AE=AF=AC= ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的值，根据网格图的特征可得∠EAF=45°，然后根据弧长公式l=计算即可求解.
3．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 该扇形面积=
故答案为：C.
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径是母线，直接利用扇形的面积公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC=7.5cm
∴AC=15cm
∴=10π
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的运动轨迹，利用弧长公式求出答案即可。
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴ = =4π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
6．【答案】C
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】延长DO交AB于点H，连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴OD是 的角平分线，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】延长DO交AB于点H，连接OB，证明 ，OD是 的角平分线，求得 ，进行求解即可；
7．【答案】6
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得2π×2= ，
解得 l=6，
即该圆锥母线l的长为6.
故答案为：6.
【分析】圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此解答即可.
8．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：OB=OA-AB=30cm-18cm=12cm，
扇形的面积S cm2，
故答案为： .
【分析】S扇形=，观察图形得S阴影=以OA为半径的扇形面积-以OB为半径的扇形面积可求解.
9．【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长等于底面圆的周长得出2π.
设圆的半径是r，则 ＝2π，
解得：r＝3.
故答案为：3.
【分析】设圆的半径是r，由题意可得相等关系：扇形的弧长=底面圆的周长，根据相等关系列关于r的方程可求解.
10．【答案】60π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积S=πrl=π×10×6=60π.
故答案为：60π.
【分析】利用圆锥的侧面积S=πrl进行计算即得.
11．【答案】解：∵∠C=90°，AC=4 ，BC=3，∴AB=5
若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·BC·AB=15π
若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·AC·AB=20π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，然后利用圆锥的表面积公式分别减计算即可.
12．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ 与 切于点 ，∴ ，
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ 平分 .
（2）解：由（1）知 ，∴ .
∵ ，∴ .
在 中， ， ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，由圆的切线的性质可得∠ODB=90°，结合已知可得∠ODB=∠C，根据平行线的判定可得AC∥OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的平行线可得∠BOD=∠BAC，根据直角三角形两锐角互余可求得∠B=30°，在直角三角形BOD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OB=2OD，然后用勾股定理可求得BD的长，于是S△BOD=BD×OD可求得三角形BOD的面积，再根据S阴影=S△BOD-S扇形可求解.
13．【答案】（1）证明：如图1，连接OD.
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO，
∵点D在⊙O上，
∴ED是⊙O的切线
（2）解：如图2，过点O作OK⊥AC，
∵∠E＝∠ODE＝∠OKE＝90°，
∴四边形OKED为矩形，AK＝KC，
∴EK＝OD＝3，
∴AK＝CK＝EK﹣CE＝3﹣2＝1，
∴AC＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝ ＝ ＝4 ，
答：BC的长为4
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义和平行线的性质可得∠ODA＝∠CAD，由平行线的判定可得AE∥OD，结合已知可得ED⊥DO，根据圆的切线的判定可求解；
（2）过点O作OK⊥AC，结合已知根据三个角是直角的四边形是矩形，则EK＝OD，由线段的构成AK＝CK＝EK﹣CE可求得AK的值，则AC=2AK，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，用勾股定理可求解.
14．【答案】（1）证明： 为 的角平分线，
，
∴∠DAC=∠DCA
.
（2）解：连接 并延长交 于点F，连接 ，则 为直径，即 ，
又 为 切线，
，即 ，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
即 ，
（负值舍去）.
（3）解： ，
，
，
又 ，
，
又 ，
∴由勾股定理： ，
过A作 交 于H，
，
，
，
又 ，
，
在 中，
由勾股定理： ，
.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 （1）BD为∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，由圆周角定理可求解；
（2）由题意易得△EBC∽△EAB，于是可得比例式，即BE2＝AE EC＝（EC＋AC） EC，即可求解；
（3） 过A作 交 于H，由勾股定理可求得AC的值，根据AH＝AB sin45°可求得AH的值，在Rt△AHD中，由勾股定理求出DH的值，然后根据BD=BH+DH可求解．
15．【答案】（1）证明：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥DF，
∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，
∴∠BDF＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠BDF，
∵D是弧BC的中点，
∴∠COD＝∠OAD，
∴∠CAB＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于H，如图，
∵D是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴CH＝BH，
∴OH为△ABC的中位线，
∴ ，
∴HD＝2.5－1.5＝1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形DHCE为矩形，
∴CE＝DH＝1．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；（2）连接BC交OD于H，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，则CH=BH，于是可判断OH为△ABC的中位线，所以OH=1.5，则HD=1，然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=1．
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