洋湖实高2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数 学 答案解析
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设集合，，0，1，2，，则（ ）
A． B．， C．， D．，1，
【分析】先解一元二次不等式求出，再利用交集运算求解即可．
【解析】解：，
，0，1，2，，
∴，1，．
故选：．
2．如图，在平行四边形中，是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形法则即可求解．
【解析】解：在平行四边形中，由已知可得：
，
故选：C．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据复数的运算性质求出，再求出即可．
【解析】解：，
，
，
故选：．
4．命题“对任意实数，，关于x的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出命题“对任意实数，，关于的不等式恒成立”为真命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解析】解：命题“对任意实数，，关于的不等式恒成立” “”
故命题“对任意实数，，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是，
故选：．
5．已知函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先判断的奇偶性，求得的零点，计算的符号，可得结论．
【解析】解：函数的定义域为，
，
可得为奇函数，其图像关于原点对称，可排除选项、；
的零点为0，，，可排除选项．
故选：．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合指数函数、对数函数的单调性判断即可．
【解析】解：因为，，，
所以，，
，
所以．
故选：．
7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为．若三棱锥的体积的最大值为，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件求解圆的半径，求解的边长，然后求解棱锥的高，推出外接球的半径即可．
【解析】解：三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为，
设圆的半径，则，，
设的边长为，则等边的高（中线）为，
重心分中线之比为，
，，
三棱锥的体积的最大值为，
设棱锥的高为，，，
外接球的半径为，可得，解得．
故选：．
8．分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件 “至少有2枚正面朝上”，则与事件相互独立的是（ ）
A．3枚硬币都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的
C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上
【分析】根据相互独立事件的定义判断即可．
【解析】解：分别抛掷3枚质地均匀的硬币，可能出现记过的样本空间为：
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8个样本点，
事件 “至少有2枚正面朝上”，
则（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4个样本点，则，
设 “3枚硬币都正面朝上”，则（正，正，正），
（A），，（A），错误；
设 “有正面朝上的，也有反面朝上的”，则（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）．
，，，
（B），事件与相互独立，正确；
设 “恰好有1枚反面朝上“，则（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
（C），，（C），错误；
设 “至多有2枚正面朝上“，则（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），
（D），，（D），错误．
故选：．
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．若、、为实数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解析】解：对于，令，则，故错误，
对于，，
，，
，故正确，
对于，，
，，
，即，故错误，
对于，令，，满足，但，故错误．
故选：．
10．已知平面向量向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则在方向上的投影向量是（1，0）
C．与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，的夹角为，则
【分析】：根据向量共线性质代入求出即可；
：根据向量垂直性质代入求出，再由投影向量的定义即可求出答案；
：表示出夹角表达式，根据锐角所满足条件即可求出范围；
：表示出向量夹角，求得，即可判断．
【解析】解：：若，则，解得，故正确；
：若，则，解得，所以，则，
所以在方向上的投影是，则在方向上的投影向量为，故正确；
：设与的夹角为，则，解得且，故错误；
，，解得，故错误．
故选：．
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．
【解析】解：2个球都是红球的概率为，
故选项正确；
2个球中恰有1个红球的概率为，
故选项正确；
2个球都不是红球的概率为，
故至少有1个红球的概率为，
故选项错误；
2个球不都是红球的概率为，
故选项错误；
故选：．
12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面EFG∥平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
【分析】根据三棱锥的体积公式，线面垂直判定定理，面面平行的性质定理，线面角的定义即可求解．
【解析】解：易得平面平面，所以到平面的距离为定值，
又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，选项正确；
易证平面，当为线段上靠近的四等分点时，可证平面平面，
所以平面，选项正确；
设平面与平面相交于，平面与平面相交于，
若平面平面，则，则必在的延长线上，选项错误；
因为到平面的距离为定值2，所以，
在△中，，，，则，
所以的最小值为，所以的最大值为．正确．
故选：．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为 ， ．
【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
【解析】解：根据函数的部分图象，可得，∴．
再根据五点法作图，可得，∴，．
令，，
解得，，
故函数的增区间为，．
故答案为：，．
14．，，且恒成立，则的最大值为 4 ．
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求出最小值．
【解析】解：恒成立
即恒成立
只要
，
为4
故答案为4．
15．根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有____②④____．（填序号）
【分析】举反例判断①③；采用反证法判断②；利用众数、极差的定义判断④．
【解析】解：对于①，举反例：0，0，0，4，11，其平均数，但不符合题意，故①错误；
对于②，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3，
得到此数据中最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误，此组数据全部小于10，符合题意，故②正确；
对于③，举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差，
但不符合入冬指标，故③错误；
对于④，众数为5，极差小于等于4，
最大数不超过9，故④正确．
16．某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P （如图所示），其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对，的视角．现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长．若建造观光路线的宽为5米，每平方造价为100元，则该景区预算需投入_265__万元可完成改造．（）
【分析】在中，利用余弦定理可以求得的值；由，得到，利用正弦定理求出即可，再结合范围，即可求出长的最大值，再计算造价即可．
【解析】
解：在中，由余弦定理得
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，，，
又因为，所以
所以，
即观光线路长的最大为．
预算为：万元
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积．
【解析】
设圆柱高为h，底面半径为r，底面圆的周长，展开图的对角线长为
∴，即
化简得：
∵
∴
解得：
∴（）
18．（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
【分析】
（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求，结合范围，可求的值．
（2）由余弦定理可得，结合，解得，利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解析】
解：（1），
由正弦定理可得，
又，
，
，
，
，
．
（2），，
由余弦定理可得，整理可得，
又，解得，
．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）若，求的值．
【分析】
（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，根据正弦函数的性质即可求解．
（2）由已知可得，进而利用二倍角公式以及诱导公式即可求解．
【解析】
解：（1）由题意得
，
可得的最小正周期为，
所以当时，有最小值．
（2）由，可得，
可得，
所以，
所以．
20．（本小题满分12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，和，的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于，的概率．
【分析】
（1）由所有小长方形面积之和，列方程求解；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式进行运算；
（3）列举符合条件的基本事件，用古典概型概率公式进行运算．
【解析】
解：（1）根据频率分布直方图得：，
解得，
（2）根据频率分布直方图得：
平均数，
（3）由于，，，和，的频率之比为：，
故抽取的5人中，，，和，分别为：1人，2人，2人，
记，的1人为，，的2人为，，，的2人为，，
故随机抽取2人共有，，，，，，，
，，种结果，
其中至少有1人每天阅读时间位于，的包含7种，
故概率．
21．（本小题满分12分）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【分析】
（1）连接，，可证得，延长交于点，可证得，由此得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
【解析】
解：（1）证明：连接，，依题意，平面，
又平面，平面，则，，
，
又，，则，
，
延长交于点，又，则在中，为中点，连接，
在中，，分别为，的中点，则，
平面，平面，
平面；
（2）过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，由（1）知，
又，则，
，
又，即，12，，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
22．（本小题满分12分）已知定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）设函数，记，．探究是否存在正整数，使得对任意的，，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）根据已知中定义在上的偶函数和奇函数满足，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于、的另一个方程：，解方程组即可得到，的解析式．
（2）先判断出函数的图象关于点，成中心对称，即对任意，成立，即可求出，则对任意的，，不等式恒成立，转化为恒成立，根据函数单调性即可求出的取值范围，结合，即可求出的值．
【解析】
解：（1）为定义在上的偶函数
又为定义在上的奇函数
由，
，
，，
（2）易知为奇函数，其函数图象关于成中心对称，
函数的图象关于点，成中心对称，
即对任意，成立，
，
，
两式相加可得
，
，即，
，
，，
，
恒成立，
令，，，
则在，上单调递增，
，
，
又已知，
，3．洋湖实高2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数 学
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设集合，，0，1，2，，则（ ）
A． B．， C．， D．，1，
2．如图，在平行四边形中，是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．命题“对任意实数，，关于x的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为．若三棱锥的体积的最大值为，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件 “至少有2枚正面朝上”，则与事件相互独立的是（ ）
A．3枚硬币都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的
C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．若、、为实数，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知平面向量向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则在方向上的投影向量是（1，0）
C．与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，的夹角为，则
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面
C．线段上存在点，使平面EFG∥平面
D．设直线与平面所成角为，则的最大值为
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为________．
14．，，且恒成立，则的最大值为________．
15．根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数； ②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有________．（填序号）
16．某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P （如图所示），其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对，的视角．现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长．若建造观光路线的宽为5米，每平方造价为100元，则该景区预算需投入________万元可完成改造．（）
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积．
18．（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）若，求的值．
20．（本小题满分12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，和，的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于，的概率．
21．（本小题满分12分）如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
22．（本小题满分12分）已知定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）设函数，记，．探究是否存在正整数，使得对任意的，，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由．
