2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）数学选择性必修第一册2.2直线的方程 学案

2.2.1 直线的点斜式方程
【知识梳理】（课前完成）
知识点一 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式 y－y0＝
适用条件 斜率存在 斜率存在
知识点二 直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的__________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的____________．
知识点三 直线平行、垂直的判断
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2 __________________；(2)l1⊥l2 __________________．
思考1：经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
思考2：直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
【例题精讲】（先做后讲，不做不讲）
题型一 直线的点斜式方程
【例1】　已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【课堂记录】
【跟踪训练】
根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
题型二　直线的斜截式方程
【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【课堂记录】
【跟踪训练】
(1)直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则m的值是(　　)
A．2或 B．2或－ C.－2或－ D．－2或
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
题型三 斜截式方程的应用
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【跟踪训练】
(1)求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
(2)如图，直线y＝ax＋的图象可能是(　　)
【课后作业】（全批全改）
1. (多选)下列四个选项中正确的是(　　)
A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
3.对任意实数a，直线y=ax-3a+2所经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
4.若直线经过点，斜率为，则直线的点斜式方程为______．
5.已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
6.已知点，求三条高所在直线的方程．
2.2.2 直线的两点式方程
【知识梳理】（课前完成）
知识点一 直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 斜率存在且不为0
知识点二 直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则x＝ ，
y＝ ．
思考1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
思考2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
【例题精讲】（先做后讲，不做不讲）
题型一　直线的两点式方程
【例1】 如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2).
①求线段AB中点D的坐标；
②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程.
【课堂记录】
【跟踪训练】
(1)过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
题型二　直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程。
【课堂记录】
【跟踪训练】
(1)求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．
(2)已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程.
题型三　直线方程的简单应用
【例3】 两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　 )
【课堂记录】
【跟踪训练】
已知直线l过点P(－2,1)．
(1)当直线l与点B(－5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程；
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程．
【课后作业】（全批全改）
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.不经过原点的直线都可以表示为＋＝1
B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4,1)则直线l的方程为＋＝1
C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
3.若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________.
5.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________.
6.直线l经过点A(－3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求该直线的方程．
2.2.3 直线的一般式方程
【知识梳理】（课前完成）
知识点一 直线的一般式方程
形式
条件 A，B
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
【例题精讲】（先做后讲，不做不讲）
题型一　直线的一般式方程与其他形式转化
【例1】已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程．
【课堂记录】
【例2】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【课堂记录】
题型二　直线的一般式方程的应用
【例3】 （由含参数的一般式求参数的值或取值范围）
(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
【课堂记录】
【例4】（一般式下直线的平行与垂直问题）
已知：A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
【课堂记录】
【课后作业】（全批全改）
1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
3．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A．－6 B．6
C．－ D.
4．已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x－y＋2＝0平行，那么直线l的方程是(　　)
A．2x－y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y－4＝0 D．x－2y－4＝0
5．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
6．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于.