2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 讲义
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 讲义 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 994.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-09 09:00:29 | ||
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文档简介
1.3.1空间直角坐标系
【知识梳理】
知识点一：空间直角坐标系定义：
在空间选定一点和一个单位正交基底 . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
知识点二：空间直角坐标系的画法
借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系时，让轴与轴所成的角为（或），即（或），画轴与轴垂直，即.
知识点三：空间点的坐标表示
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，，，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记做，，.
知识点四：空间向量的坐标表示
因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系中可以作. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，，，使,有序实数组，，叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记为，，那么，即点或者向量的坐标就是，，.
【例题精讲】
【例1】如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量,,,的坐标.
（3）分别写出向量,,的中点坐标.
（4）写出线段上一动点P的坐标.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，写出各顶点的坐标．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．写出各顶点的坐标．
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．写出各顶点的坐标．
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．写出各顶点的坐标．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．写出各顶点的坐标．
【课后作业】
【练习1】 在空间直角坐标系中标出下列各点：
， ，，， ，，， ，，， ，.
【练习2】 在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出点的坐标；
（2）写出向量，的坐标.
【练习3】 在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
1.3.2空间向量运算的坐标表示
【知识梳理】
知识点一：空间向量运算的坐标表示
设 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积 =①
知识点二：空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
1.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：
设 ，当 时，
平行
垂直 ___________________
模 _______________
夹角公式
2.空间向量的坐标及两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，设, ，则
（1）____________________
（2）__________________________
【例题精讲】
【例1】设，向量， ，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【例2】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.
（1）求证；
（2）求与所成角的余弦值.
题型一 空间向量的坐标表示
已知点，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
已知点，则线段的中点关于平面oyz对称的点的坐标为（ ）
题型二 空间向量线性运算的坐标表示
3、已知向量则向量=（ ）
4、若向量则（ ）
题型三 空间向量数量积的坐标表示
5、已知，则向量在上的投影向量为（ ）
6、若向量的坐标满足，则等于（ ）
题型四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
若在中，，则的值为（ ）
已知，若，则的取值范围为（ ）
题型五 利用空间向量的坐标运算求夹角和模
若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
10、已知点
（1）若为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求的值，并求此时向量与夹角的余弦值.
【课后作业】
1.求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.且.求的值.
3．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
4.如图，在棱长为1的正方体中,为的中点, ,分别在棱,上,，.
（1）求的长.
（2）求与所成角的余弦值.
【知识梳理】
知识点一：空间直角坐标系定义：
在空间选定一点和一个单位正交基底 . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
知识点二：空间直角坐标系的画法
借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系时，让轴与轴所成的角为（或），即（或），画轴与轴垂直，即.
知识点三：空间点的坐标表示
在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，，，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记做，，.
知识点四：空间向量的坐标表示
因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系中可以作. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，，，使,有序实数组，，叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记为，，那么，即点或者向量的坐标就是，，.
【例题精讲】
【例1】如图，在长方体中，，，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）写出向量,,,的坐标.
（3）分别写出向量,,的中点坐标.
（4）写出线段上一动点P的坐标.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，写出各顶点的坐标．
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．写出各顶点的坐标．
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．写出各顶点的坐标．
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．写出各顶点的坐标．
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．
例5已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高都为2，AB＝4．写出各顶点的坐标．
【课后作业】
【练习1】 在空间直角坐标系中标出下列各点：
， ，，， ，，， ，，， ，.
【练习2】 在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出点的坐标；
（2）写出向量，的坐标.
【练习3】 在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
1.3.2空间向量运算的坐标表示
【知识梳理】
知识点一：空间向量运算的坐标表示
设 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积 =①
知识点二：空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
1.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：
设 ，当 时，
平行
垂直 ___________________
模 _______________
夹角公式
2.空间向量的坐标及两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，设, ，则
（1）____________________
（2）__________________________
【例题精讲】
【例1】设，向量， ，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【例2】如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.
（1）求证；
（2）求与所成角的余弦值.
题型一 空间向量的坐标表示
已知点，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
已知点，则线段的中点关于平面oyz对称的点的坐标为（ ）
题型二 空间向量线性运算的坐标表示
3、已知向量则向量=（ ）
4、若向量则（ ）
题型三 空间向量数量积的坐标表示
5、已知，则向量在上的投影向量为（ ）
6、若向量的坐标满足，则等于（ ）
题型四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
若在中，，则的值为（ ）
已知，若，则的取值范围为（ ）
题型五 利用空间向量的坐标运算求夹角和模
若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
10、已知点
（1）若为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求的值，并求此时向量与夹角的余弦值.
【课后作业】
1.求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.且.求的值.
3．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
4.如图，在棱长为1的正方体中,为的中点, ,分别在棱,上,，.
（1）求的长.
（2）求与所成角的余弦值.