高中数学苏教版（2019）5.2函数的表示方法
一、单选题
1．若二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称，并过点 （0，0） ，则此二次函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果 ＝ ，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6 C．1 D．0
5．已知 ，则 等于（ ）
A．π B．0 C．2 D．π＋1
二、填空题
6．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为 ，值域为 .
7．已知函数 按下表给出，满足 的 的值为 ．
1 2 3
2 3 1
8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为 .
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
9．（2016高一上·东海期中）已知f（x）= 则不等式xf（x）+x≤2的解集是 ．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f (3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式.
11．若函数 如下表所示：
0 1 2 3
2 2 1 0
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
12．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象，并求出y的最大值、最小值.
13．（2019高一上·顺德月考）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
⑴5公里以内(含5公里)，票价2元；
⑵5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象.
14．已知
（1）画出f(x)的图象；
（2）若 ，求x的值；
（3）若 ，求x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】本题求二次函数的解析式可能情况，根据四个选项得 ，所以可设二次函数的解析式为 由于点 在图像上，∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的开口方向、对称性和过点O（0，0）结合代入法，从而找出二次函数的解析式。
2．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢
路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢
符合条件的应是C。
故答案为：C
【分析】利用已知条件找出满足要求的函数图象。
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令 ＝t，则x＝ ，代入 ＝ ，
则有f(t)＝ ＝ ，即 。
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令 ＝t，则x＝ ，再利用函数的解析式结合代入法，从而再利用换元法，令t=x,，从而求出函数的解析式为。
4．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】令 ，则 ，
，
，
。
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令 ，则 ，再结合函数的解析式求出，再利用换元法，令t=x，从而求出函数解析式为，再结合代入法求出函数值。
5．【答案】D
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 。
故答案为：D
【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值。
6．【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象
【解析】【解答】根据函数图象可知，自变量的取值范围为： ，
函数值的取值范围为： 。
故答案为： ； 。
【分析】利用函数的图象结合函数的定义域和值域定义，从而求出函数的定义域和值域。
7．【答案】3或1
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由题中的表格可知：
当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；
当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；
当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．
综上所述，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3。
故答案为1和3。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足 的x的值。
8．【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
9．【答案】{x|x≤1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：x≥0时，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0．综上x≤1．
故答案为：{x|x≤1}
【分析】由题意，不等式求解必须分类讨论，分x≥0、x＜0时解答，最后求并集．
10．【答案】由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用已知条件结合代入法求出 b＝－3a－9，再由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立 ，再利用不等式恒成立问题求解方法结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出a,b的值，进而求出函数的解析式。
11．【答案】（1） ，
.
（2）设 ，由表知 ，对应的 ，
即 ，再由表求得当且仅当 或 时， .
或 .
【知识点】函数的表示方法；函数的值
【解析】【分析】（1）利用函数的x，y对应表，从而求出函数值。
（2）利用函数的x，y对应表， 设 ，由表知 ，对应的 ，即 ，再由表求得满足 的x的值。
12．【答案】二次函数y＝2x2－4x－3的对称轴为
当 ， ；当 ， ；当 ，
则函数y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象如下图所示
由图象可知，该函数的最小值为-5，最大值为3
【知识点】二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】利用二次函数的解析式画出二次函数的图象，从而利用二次函数的图象求出二次函数的最大值和最小值。
13．【答案】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】实际问题，根据实际情况确定分段函数的取值，及图像.
14．【答案】（1）函数 的对称轴 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，则f(x)的图象如图所示.
（2） 等价于 ①或 ②或 ③
解①得 ，②③的解集都为
∴当 时， .
（3）由于 ，结合此函数图象可知，
使 的x的取值范围是
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用分段函数的解析式画出分段函数的图象。
（2）利用分段函数的图象求出满足要求 的x的值。
（3）利用分段函数的图象求出满足要求 的x的取值范围。
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一、单选题
1．若二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称，并过点 （0，0） ，则此二次函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】本题求二次函数的解析式可能情况，根据四个选项得 ，所以可设二次函数的解析式为 由于点 在图像上，∴ ，∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象的开口方向、对称性和过点O（0，0）结合代入法，从而找出二次函数的解析式。
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为先跑，跑累了再走余下的路，所以跑的时候速度比较快，走的时候速度比较慢
路程关于时间的函数图象中的斜率代表了速度，应当先增长的比较快，后增长的比较慢
符合条件的应是C。
故答案为：C
【分析】利用已知条件找出满足要求的函数图象。
3．如果 ＝ ，则当x≠0，1时，f(x)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令 ＝t，则x＝ ，代入 ＝ ，
则有f(t)＝ ＝ ，即 。
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令 ＝t，则x＝ ，再利用函数的解析式结合代入法，从而再利用换元法，令t=x,，从而求出函数的解析式为。
4．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】令 ，则 ，
，
，
。
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令 ，则 ，再结合函数的解析式求出，再利用换元法，令t=x，从而求出函数解析式为，再结合代入法求出函数值。
5．已知 ，则 等于（ ）
A．π B．0 C．2 D．π＋1
【答案】D
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 。
故答案为：D
【分析】利用分段函数的解析式结合代入法，从而求出函数值。
二、填空题
6．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为 ，值域为 .
【答案】；
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的图象
【解析】【解答】根据函数图象可知，自变量的取值范围为： ，
函数值的取值范围为： 。
故答案为： ； 。
【分析】利用函数的图象结合函数的定义域和值域定义，从而求出函数的定义域和值域。
7．已知函数 按下表给出，满足 的 的值为 ．
1 2 3
2 3 1
【答案】3或1
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】由题中的表格可知：
当x=1时，f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，而f（3）=1，原不等式化为3＞1恒成立，所以x=1满足题意；
当x=2时，f（2）=3，则f（f（2））=f（3）=1，而f（3）=1，原不等式不成立，所以x=2不满足题意；
当x=3时，f（3）=1，则f（f（3））=f（1）=2，而f（3）=1，原不等式化为2＞1恒成立，所以x=3满足题意．
综上所述，满足f（f（x））＞f（3）的x的值为1和3。
故答案为1和3。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足 的x的值。
8．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为 .
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
【答案】2或4
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意.当 时， ，不合题意.当 时， ，符合题意。
故填 2或4 。
【分析】利用函数的x,y对应表结合分类讨论的方法，从而求出满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值。
9．（2016高一上·东海期中）已知f（x）= 则不等式xf（x）+x≤2的解集是 ．
【答案】{x|x≤1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：x≥0时，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0．综上x≤1．
故答案为：{x|x≤1}
【分析】由题意，不等式求解必须分类讨论，分x≥0、x＜0时解答，最后求并集．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f (3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式.
【答案】由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的图象
【解析】【分析】利用已知条件结合代入法求出 b＝－3a－9，再由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立 ，再利用不等式恒成立问题求解方法结合二次函数的图象的开口方向和判别式法，从而求出a,b的值，进而求出函数的解析式。
11．若函数 如下表所示：
0 1 2 3
2 2 1 0
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ，
.
（2）设 ，由表知 ，对应的 ，
即 ，再由表求得当且仅当 或 时， .
或 .
【知识点】函数的表示方法；函数的值
【解析】【分析】（1）利用函数的x，y对应表，从而求出函数值。
（2）利用函数的x，y对应表， 设 ，由表知 ，对应的 ，即 ，再由表求得满足 的x的值。
12．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象，并求出y的最大值、最小值.
【答案】二次函数y＝2x2－4x－3的对称轴为
当 ， ；当 ， ；当 ，
则函数y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象如下图所示
由图象可知，该函数的最小值为-5，最大值为3
【知识点】二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】利用二次函数的解析式画出二次函数的图象，从而利用二次函数的图象求出二次函数的最大值和最小值。
13．（2019高一上·顺德月考）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
⑴5公里以内(含5公里)，票价2元；
⑵5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数的图象.
【答案】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
【知识点】分段函数的应用
【解析】【分析】实际问题，根据实际情况确定分段函数的取值，及图像.
14．已知
（1）画出f(x)的图象；
（2）若 ，求x的值；
（3）若 ，求x的取值范围.
【答案】（1）函数 的对称轴 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，则f(x)的图象如图所示.
（2） 等价于 ①或 ②或 ③
解①得 ，②③的解集都为
∴当 时， .
（3）由于 ，结合此函数图象可知，
使 的x的取值范围是
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）利用分段函数的解析式画出分段函数的图象。
（2）利用分段函数的图象求出满足要求 的x的值。
（3）利用分段函数的图象求出满足要求 的x的取值范围。
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