北师大版七年级数学下册1.6 完全平方公式 同步练习 （word版 含解析）

北师大版七下 1.6 完全平方公式
一、选择题（共11小题）
1. 若 满足 的形式，则 等于
A. B. C. D.
2. 下列各式计算正确的是
A. B.
C. D.
3. 已知 ，，则 等于
A. B. C. D.
4. 有若干张面积分别为 ，， 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了 张面积为 的正方形纸片， 张面积为 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为 的正方形纸片
A. 张 B. 张 C. 张 D. 张
5. 若 ，， 是正数，下列各式，从左到右的变形不能用下图验证的是
A.
B.
C.
D.
6. 利用完全平方公式计算 得
A. B. C. D.
7. 如图，在一块边长为 的红色正方形彩纸上，两纵两横的 条宽度为 的黄色矩形彩带把正方形彩纸分成 块，下面是四个计算剩余红色彩纸面积的代数式：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的有
A. ② B. ①③ C. ①④ D. ④
8. 图①是一个长为 ，宽为 （）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
9. 如图所示，长为 ，宽为 的长方形的周长为 ，面积为 ，则 的值为
A. B. C. D.
10. 观察下列一组图形，其中图形①中共有 颗星，图形②中共有 颗星，图形③中共有 颗星，图形④中共有 颗星，，按此规律，图形⑧中星星的颗数是
A. B. C. D.
11. 我国宋朝数学家杨辉 年的著作《详解九章算法》给出了在 （ 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
12. 若 ，则 ．
13. 已知 ，，，且 ，则 的值等于 ．
14. 已知 ，则代数式 的值为 ．
15. 计算： ．
16. 如图是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了 （ 为非负整数）的展开式的项数及其系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出 的展开式共有 项，第二项的系数是 ， 的展开式共有 项，各项的系数和是 ．
三、解答题（共6小题）
17. 已知 ，．求：
（1） 的值；
（2） 的值．
18. 已知 ，求 的值．
19. 有一张边长为 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：，对于方案一，小明是这样验证的：．
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
20. 图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
（1）将下表填写完整；
（2）求第 （ 为正整数）个图形中有多少个三角形（用含 的代数式表示）．
21. 观察下列一组等式：
；
；
．
（1）从以上等式中，你有何发现 利用你发现的规律，在下面括号中填上适当的式子．
① ；
② ；
③ ．
（2）计算：．
22. 阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图 可以得到 ．请解答下列问题．
（1）写出图 中所表示的数学等式 ；
（2）利用（）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 ，，求 的值；
（3）小明想用类似方法解释多项式乘法 ，那么需要用长为 和宽为 纸片 张；
（4）图 中给出了若干个边长为 和边长为 的小正方形纸片，若干个长为 、宽为 的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：．
答案
1. A
2. B
3. D
4. B
【解析】 边长为 的正方形的面积为 ，
还需面积为 的正方形纸片 张．
5. D
【解析】依据①②③④四部分的面积可得 ，故A能验证；依据⑤⑥两部分的面积可得 ，故B能验证；依据整个图形的面积可得 ，故C能验证；图中不存在长为 ，宽为 的长方形，故D不能验证．故选D．
6. D
【解析】
7. C
【解析】根据题意可知，剩余彩纸可以拼成边长为 的正方形，所以剩余彩纸面积 ；由题图可得，剩余彩纸面积 ．故选C．
8. C
【解析】由题意可得，正方形的边长为 ，
故正方形的面积为 ，
又 原矩形的面积为 ，
中间空的部分的面积 ．
9. D
【解析】由题意可知 ，，
，
．
故选D．
10. C
【解析】设图形 中星星的颗数是 （ 为自然数），
观察，发现规律：，，，，，
所以 ．
令 ，则 ．
11. D 【解析】由题意，，
可知，展开式中第二项为 ，
所以 展开式中含 项的系数是 ．
12.
13.
【解析】，，，
，，，
．
14.
【解析】，
，
．
15.
16. ，，，
【解析】 的展开式有 项； 的展开式有 项； 的展开式有 项； 故 的展开式共有 项．由题中规律得 的展开式中第二项的系数为 ， 的展开式中第二项的系数为 ，故 的展开式中第二项的系数为 ．
的展开式中各项的系数和为 ；
的展开式中各项的系数和为 ；
的展开式中各项的系数和为 ；
故 的展开式中各项的系数和为 ．
17. （1） ．
（2） ．
18.
当 时，．
19. 由题意可得，
方案二：
方案三：
20. （1） ；
【解析】图①有一个三角形，在此基础上，以后每连接一次中间三角形三边的中点，就多出 个三角形，
因此第 个图形中三角形的个数为 ．
（2） 个．
21. （1） ；；
（2） ．
22. （1）
（2）
（3）
（4）