2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习
一、选择题
1．（2016·定州模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
2．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
3．（2016九上·仙游期末）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
4．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
5．（2016·郓城模拟）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
6．（2017·商水模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．10
8．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm
9．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
10．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
11．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC=55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
12．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2017·武汉模拟）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A，B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
15．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
二、填空题
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是 的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF= .
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E= .
19．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则∠P= °．
20．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
三、解答题
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC AD=AB AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
（1）求证：△ADO∽△ACB
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD BC.
23．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长.
24．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD.
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径.（精确到0.01）
25．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC= AC BC= AB CD，
∴AC BC=AB CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半径为 ，
故选B．
【分析】首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC= AC BC= AB CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
2．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故答案为：C．
【分析】根据已知AC是⊙O的切线，因此连接OA，得出∠OAC=90°，根据等腰三角形的性质得出OA=OB，证出∠B=∠OAB，利用三角形的外角性质求出∠AOC的度数，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠C的度数。
4．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．
【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
5．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
【分析】由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
6．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
7．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
8．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】解答：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2 cm，
∴OC= cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC= cm，
即CE=2FC=3cm．
故选B．
分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
9．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】解答： ∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B= ∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
故选B．
分析：由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B= ∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
10．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB= ∠AOB=70°，
故选C．
【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
11．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=55°，
∴∠B=90°-∠BAC=35°，
∴∠COD=2∠B=70°．
故选A．
【分析】由AC是⊙O的切线，可求得∠C=90°，然后由∠BAC=55°，求得∠B的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
12．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
13．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
14．【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM= PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故答案为：A．
【分析】根据直线AB的解析式求得OB的长，进而就可求得OA的长，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM与PA的数量关系， 然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
15．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
而∠P=40°（已知），
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
∴∠BOC=40°，
∴∠BAC=∠BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选D．
【分析】连接BC，OB．四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得∠BAC=∠BOC．
16．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB= OD，
∵OC=OB，
∴OC= OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是 的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC sin60°=2× = ，
∴CF=2 .
故答案为：2
【分析】连接OC，由圆的切线的性质可得∠OCD=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=OB=BC，所以可得三角形OBC是等边三角形，则∠COB=60°，垂径定理可得OB⊥CF，在直角三角形COE中，由勾股定理可求得CE的值，再根据垂径定理可得CF=2CE可求解。
17．【答案】125
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A= ∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125.
【分析】连接OD，由圆的切线的性质可得∠ODC=90°，由三角形外角的性质可得∠BOD=∠A+∠ADO，而∠A=∠ADO，所以∠ADO的度数可求解，则∠CDA=∠ODC+∠ADO可求解。
18．【答案】50°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ＝ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由垂径定理可得 ＝ ，所以∠GFD=∠AFC；由弦切角定理可得∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF，∠DFE=∠DCF；由三角形外角的性质可得∠FGD=∠FCD+∠CFA，所以∠EFG=∠EGF，则根据三角形的内角和定理可得∠E=180°-∠EFG-∠EGF可求解。
19．【答案】24
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=33°，
∴∠AOP=66°，
∴∠P=90°-66°=24°．
故答案为：24．
【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA⊥AP，利用圆心角和圆周角的关系解答即可．
20．【答案】6
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD= AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
21．【答案】（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴AC AD=AB AE
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在Rt△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）
连接DE， 要证乘积式成立，只需证这四条线段所在的两个三角形相似，即
△ADE∽△ABC即可得比例式求解。由直径所对的圆周角是直角可得∠ADE=∠ABC=90°，∠A是公共角，根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，于是由相似三角形的性质可得比例式求解；
（2）
连接OD，由切线的性质可得OD⊥BD， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=OE=BD，于是可得三角形ODE是等边三角形，可得∠OBD= ∠A=
30°， 所以AC=2BC可求解。
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB
（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB.
∴ ，
∴AD BC=AC OD，
∵OD=1，
∴AC=AD BC
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得
∠C=∠ADO=90°， ∠A是公共角，根据
两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△ACB ；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式：
，把OD=1代入比例式整理即可求解。
23．【答案】（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG= ，
由勾股定理的，CG= ，
则MC=2CG=
【知识点】切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）
连接OA，由切线的性质可得∠OAM=90°，由圆心角的度数等于同弧所对的圆周角的度数的2倍可得∠AOC=2∠B；于是可求得∠∠OCA=∠OAC=30°， 由三角形外角的性质可得∠AOC=∠OAM+∠M，结合已知可求得∠M=∠OCA=
30°，根据等角对等边可得AC=AM；
（2）
作AG⊥CM于G， 由（1）中的计算可知
∠OCA=30° ，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=
AC，用勾股定理可求得CG的值，则MC=2CG可求解。
24．【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC
（2）解：∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD= ，
∴AB=
∴⊙O的半径为 ＝2.13
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）
连接OD， 由圆的切线的性质可得
∠CDO=90°， 由直径所对的圆周角是直角可得
∠ADB=90° ，由同角的余角相等可得
∠CDB=∠ODA， 结合题意易求得
∠BAD=∠BDC ；
（2）由弦切角定理可得 ∠BAD=∠BDC ，解直角三角形ABD 可求得AB的值，则圆的半径=
可求解。
25．【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习
一、选择题
1．（2016·定州模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC= AC BC= AB CD，
∴AC BC=AB CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半径为 ，
故选B．
【分析】首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC= AC BC= AB CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
2．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
3．（2016九上·仙游期末）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故答案为：C．
【分析】根据已知AC是⊙O的切线，因此连接OA，得出∠OAC=90°，根据等腰三角形的性质得出OA=OB，证出∠B=∠OAB，利用三角形的外角性质求出∠AOC的度数，根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠C的度数。
4．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．
【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
5．（2016·郓城模拟）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
【分析】由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
6．（2017·商水模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
7．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A．2.5 B．3 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
8．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】解答：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2 cm，
∴OC= cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC= cm，
即CE=2FC=3cm．
故选B．
分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
9．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】解答： ∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B= ∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
故选B．
分析：由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B= ∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
10．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB= ∠AOB=70°，
故选C．
【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
11．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC=55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=55°，
∴∠B=90°-∠BAC=35°，
∴∠COD=2∠B=70°．
故选A．
【分析】由AC是⊙O的切线，可求得∠C=90°，然后由∠BAC=55°，求得∠B的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
12．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】 ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD= BC，
∵AB=BD，
∴AB= BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误.
故答案为：B.
【分析】连接DO，①由直径所对的圆周角是直角和圆的切线的性质可得∠BDC=∠ADO=90°，结合已知易求得∠A=∠C=30°，所以AD=DC；②由① 的计算可得∠A=30°，∠AOD=60°，由三角形外角的性质可求得∠ADB=∠A=30°，所以AB=BD；③在直角三角形BCD中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=BC，结合②的结论可得AB=BD=BC；④由前面的计算可得：∠C＜∠CBD，由大角对大边可得CD﹥BD。
14．（2017·武汉模拟）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A，B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM= PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM= PA=6﹣ x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故答案为：A．
【分析】根据直线AB的解析式求得OB的长，进而就可求得OA的长，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM与PA的数量关系， 然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
15．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
而∠P=40°（已知），
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
∴∠BOC=40°，
∴∠BAC=∠BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选D．
【分析】连接BC，OB．四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得∠BAC=∠BOC．
二、填空题
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是 的中点，弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF= .
【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB= OD，
∵OC=OB，
∴OC= OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是 的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC sin60°=2× = ，
∴CF=2 .
故答案为：2
【分析】连接OC，由圆的切线的性质可得∠OCD=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=OB=BC，所以可得三角形OBC是等边三角形，则∠COB=60°，垂径定理可得OB⊥CF，在直角三角形COE中，由勾股定理可求得CE的值，再根据垂径定理可得CF=2CE可求解。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °.
【答案】125
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A= ∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125.
【分析】连接OD，由圆的切线的性质可得∠ODC=90°，由三角形外角的性质可得∠BOD=∠A+∠ADO，而∠A=∠ADO，所以∠ADO的度数可求解，则∠CDA=∠ODC+∠ADO可求解。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E= .
【答案】50°
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ＝ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由垂径定理可得 ＝ ，所以∠GFD=∠AFC；由弦切角定理可得∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF，∠DFE=∠DCF；由三角形外角的性质可得∠FGD=∠FCD+∠CFA，所以∠EFG=∠EGF，则根据三角形的内角和定理可得∠E=180°-∠EFG-∠EGF可求解。
19．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则∠P= °．
【答案】24
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=33°，
∴∠AOP=66°，
∴∠P=90°-66°=24°．
故答案为：24．
【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA⊥AP，利用圆心角和圆周角的关系解答即可．
20．（华师大版数学九年级下册第27章27.2与圆有关的位置关系 切线同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB= cm时，BC与⊙A相切．
【答案】6
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD= AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
三、解答题
21．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：AC AD=AB AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴AC AD=AB AE
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在Rt△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）
连接DE， 要证乘积式成立，只需证这四条线段所在的两个三角形相似，即
△ADE∽△ABC即可得比例式求解。由直径所对的圆周角是直角可得∠ADE=∠ABC=90°，∠A是公共角，根据两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，于是由相似三角形的性质可得比例式求解；
（2）
连接OD，由切线的性质可得OD⊥BD， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=OE=BD，于是可得三角形ODE是等边三角形，可得∠OBD= ∠A=
30°， 所以AC=2BC可求解。
22．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
（1）求证：△ADO∽△ACB
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD BC.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB
（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB.
∴ ，
∴AD BC=AC OD，
∵OD=1，
∴AC=AD BC
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得
∠C=∠ADO=90°， ∠A是公共角，根据
两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△ACB ；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式：
，把OD=1代入比例式整理即可求解。
23．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长.
【答案】（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG= ，
由勾股定理的，CG= ，
则MC=2CG=
【知识点】切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）
连接OA，由切线的性质可得∠OAM=90°，由圆心角的度数等于同弧所对的圆周角的度数的2倍可得∠AOC=2∠B；于是可求得∠∠OCA=∠OAC=30°， 由三角形外角的性质可得∠AOC=∠OAM+∠M，结合已知可求得∠M=∠OCA=
30°，根据等角对等边可得AC=AM；
（2）
作AG⊥CM于G， 由（1）中的计算可知
∠OCA=30° ，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=
AC，用勾股定理可求得CG的值，则MC=2CG可求解。
24．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD.
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径.（精确到0.01）
【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC
（2）解：∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD= ，
∴AB=
∴⊙O的半径为 ＝2.13
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）
连接OD， 由圆的切线的性质可得
∠CDO=90°， 由直径所对的圆周角是直角可得
∠ADB=90° ，由同角的余角相等可得
∠CDB=∠ODA， 结合题意易求得
∠BAD=∠BDC ；
（2）由弦切角定理可得 ∠BAD=∠BDC ，解直角三角形ABD 可求得AB的值，则圆的半径=
可求解。
25．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.2.3切线 同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE= .求证：CB是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE= ，
∴OE= ，
根据勾股定理得：BE= ，CE=OC-OE= ，
在Rt△CEB中，BC= =4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 要证BC是圆的切线，只需
连接OD，证明BC⊥OB即可。连接OD，可得OB=OD， 由等腰三角形的三线合一可得
AE垂直平分BD，解直角三角形BOE可求得OE的值，于是用勾股定理可求出BE的值，所以CE=OC-OE，在直角三角形CEB中，由勾股定理可求出BC的值，用勾股定理的逆定理可求得∠OBC=90°，根据圆的切线的判定可求解。
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