北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习 （word版 含解析）

北师大版九上 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、选择题（共8小题）
1. 方程 的解是
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 方程 的解是
A. B. C. D. ，
3. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，若 ，且方程的两个实数根都是整数，则 的值为
A. B. 或 或
C. D. 或 或
4. 如果二次三项式 能分解成 的形成，则方程 的两个根为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 某电视台在黄金时段的 分钟广告时间内，计划插播长度为 秒和 秒的两种广告． 秒的广告每播一次收费 万元， 秒的广告每播一次收费 万元．若要求每种广告播放不少于 次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是
A. 秒的广告播放 次， 秒的广告播放 次
B. 秒的广告播放 次， 秒的广告播放 次
C. 秒的广告播放 次， 秒的广告播放 次
D. 秒的广告播放 次， 秒的广告播放 次
6. 解下列方程：① ；② ；③ ；④ ．较简便的方法是
A. 依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B. 依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
7. 满足联立方程 的正整数 的组数是
A. B. C. D.
E.
8. 下列不定方程（组）中，没有整数解的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有 等于零；反之，如果两个因式中有 等于零，那么它们的积是 ．
10. 一元二次方程 的根是 ．
11. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于 的一元二次方程 和 互为“友好方程”，则 的值为 ．
12. 已知 ，，， 是整数，且 ，若 ，，， 满足方程 ，则 ．
13. 写出方程 的一组正整数解 ．
14. 已知 是自然数，且 是完全平方数，那么 的值是 或 ．
三、解答题（共6小题）
15. 解方程：．
16. 当 为何值时， 的值和 的值相等
17. 用“换元法”解方程 .
18. 关于 的一元二次方程 ．
（1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求 的取值范围．
20. 求所有的正整数 ，， 使得关于 的方程 ，， 的所有的根都是正整数．
答案
1. C
2. D 【解析】用因式分解法解一元二次方程为本题主要考查点，
因式分解的步骤是：先移项使等式右边为 ，
然后将方程左边分解成两个因式的乘积的形式，
然后两个因式分别为 ，即得到方程的根，
由此得 移项得 移项得 ，
由此解得 ，．
3. B
【解析】 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
，
解得 ，
方程的两个实数根都是整数，
是整数， 是完全平方数，
，
或 或 ．
4. A
【解析】因为二次三项式 能分解成 的形成，
所以 可以变形为 ，
所以 或 ，
所以 ，，
即方程 的两个根为 ，．
5. A
【解析】本题中的等量关系： ，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于 次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．
6. D
【解析】① 移项后符合 （， 同号且 ）的特点，所以用直接开平方法；
② 等号左边有 项，方程的左边利用学过的方法不能分解，所以需要用公式法；
③ ，把 看成一个整体，移项后利用因式分解法来解；
④ ，可以把 看成一个整体，移项后利用因式分解法来解．
7. C
【解析】由方程 得
∵ 为正整数，
∴ 且
将 和 代入方程 得 ．
故满足联立方程的正整数组 有两个．
8. C
【解析】由 可知 必为偶数，而由 可知 必为奇数，产生矛盾．
9. 一个因式，一个因式，零
10. ，
11. 或 或
【解析】，整理得 ，
分解因式，得 ，
解得 ，．
当 为相同的根时，，
解得 ；
当 为相同的根时，，
解得 或 ．
的值为 或 或 ．
12.
13. （答案不唯一）
14. 或
【解析】由于 是完全平方数，令 ，则 ，
所以关于 的原方程（视 为整数），判别式
要使该方程有整数解，有 是完全平方数，
设 ，则 ，所以 或
解得 或 ，
代入原方程得 或 ．
15. 移项，得
分解因式，得
即
或 ，
，．
16. 或 ．
17. 设 ，则原方程化为：
当 ，即
当 ，即
综上，原方程解为
18. （1） ，
当 且 时，方程有两个不相等实数根．
（2） 解方程，得：，，
为整数，且方程的两个根均为负整数，
或 ．
或 时，此方程的两个根都为负整数．
19. （1） 依题意，得 ．
，
方程总有两个实数根．
（2） 由求根公式，得 ，．
方程有一个根是正数，
，
．
20. 设三个方程的正整数解分别为 ，；，；，，
则有
令 ，并将三式相加，得
由题意知 ，
所以
但 ，，，
又有 ．
所以 ．
故 ．